Задача 53. Постройте график функции \(y = \dfrac{{\left( {0,25{x^2} + x} \right) \cdot \left| x \right|}}{{x + 4}}.\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
ОТВЕТ: \(-4.\)
Область определения функции: \(x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne -4.\) Упростим заданную функцию: \(y = \dfrac{{\left( {0,25{x^2} + x} \right) \cdot \left| x \right|}}{{x + 4}} = \dfrac{{0,25x\left( {x + 4} \right) \cdot \left| x \right|}}{{x + 4}} = 0,25x \cdot \left| x \right|,\,\,\,\,\,\,x \ne -4.\) Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\) Тогда функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}0,25x \cdot x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\0,25x \cdot \left( {-x} \right)\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}0,25{x^2}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-0,25{x^2}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком квадратичной функции \(y = -0,25{x^2}\) является парабола, с выколотой точкой, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot \left( {-0,25} \right)}} = 0.\) Для построения графика \(y = -0,25{x^2}\) при \(x < 0\) возьмём значения \(x = -4,\) \(x = -2\) и \(x = 0:\) \(y\left( {-4} \right) = -0,25 \cdot {\left( {-4} \right)^2} = -0,25 \cdot 16 = -4;\) \(y\left( {-2} \right) = -0,25 \cdot {\left( {-2} \right)^2} = -0,25 \cdot 4 = -1;\) \(y\left( 0 \right) = -0,25 \cdot {0^2} = 0.\) Графиком квадратичной функции \(y = 0,25{x^2}\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы: \({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot 0,25}} = 0.\) \(y\left( 0 \right) = 0,25 \cdot {0^2} = 0;\) \(y\left( 2 \right) = 0,25 \cdot {2^2} = 0,25 \cdot 4 = 1;\) \(y\left( 4 \right) = 0,25 \cdot {4^2} = 0,25 \cdot 16 = 4.\) График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {-4;-4} \right)\), изображён на рис. 1. Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол. Изобразим график горизонтальной прямой \(y = m,\) при которой он не будет иметь с графиком построенной функции общих точек. Подходит единственный случай прямая \(y = -4\), проходящая через выколотую точку \(\left( {-4;-4} \right)\) (см. рис. 2). Следовательно, при \(m = -4\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком заданной функции ни одной общей точки. При любом другом значении m прямая \(y = m\) будет иметь с графиком заданной функции одну общую точку. Ответ: \(-4.\)
x
\(-4\)
\(-2\)
0
y
\(-4\)
\(-1\)
0
Для построения графика \(y = 0,25{x^2}\) при \(x \ge 0\) возьмём значения \(x = 0,\) \(x = 2\) и \(x = 4:\)
x
0
2
4
y
0
1
4