ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 55

ОТВЕТ: \(-0,5.\)

Область определения функции: \(x + 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne -1.\)

Упростим заданную функцию:

\(y = \dfrac{{\left( {0,5{x^2} + 0,5x} \right) \cdot \left| x \right|}}{{x + 1}} = \dfrac{{0,5x\left( {x + 1} \right) \cdot \left| x \right|}}{{x + 1}} = 0,5x \cdot \left| x \right|,\,\,\,\,\,\,x \ne -1.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}0,5x \cdot x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\0,5x \cdot \left( {-x} \right)\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}0,5{x^2}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-0,5{x^2}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -0,5{x^2}\) является парабола, с выколотой точкой, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot \left( {-0,5} \right)}} = 0.\)

Для построения графика \(y = -0,5{x^2}\) при \(x < 0\) возьмём значения   \(x = -2,\)   \(x = -1\)   и   \(x = 0:\)

\(y\left( {-2} \right) = -0,5 \cdot {\left( {-2} \right)^2} = -0,5 \cdot 4 = -2;\)

\(y\left( {-1} \right) = -0,5 \cdot {\left( {-1} \right)^2} = -0,5 \cdot 1 = -0,5;\)

\(y\left( 0 \right) = -0,5 \cdot {0^2} = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = 0,5{x^2}\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot 0,5}} = 0.\)

Для построения графика \(y = 0,5{x^2}\) при \(x \ge 0\) возьмём значения  \(x = 0,\)  \(x = 1\)  и \(x = 2:\)

\(y\left( 0 \right) = 0,5 \cdot {0^2} = 0;\)

  \(y\left( 1 \right) = 0,5 \cdot {1^2} = 0,5 \cdot 1 = 0,5;\)

\(y\left( 2 \right) = 0,5 \cdot {2^2} = 0,5 \cdot 4 = 2.\)

График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {-1;-0,5} \right)\), изображён на рис. 1. Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим график горизонтальной прямой \(y = m,\) при которой он не будет иметь с графиком построенной функции общих точек.

Подходит единственный случай прямая \(y = -0,5\), проходящая через выколотую точку \(\left( {-1;-0,5} \right)\) (см. рис. 2).

Следовательно, при \(m = -0,5\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком заданной функции ни одной общей точки.

При любом другом значении m прямая \(y = m\) будет иметь с графиком заданной функции одну общую точку.

Ответ: \(-0,5.\)