ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 64

ОТВЕТ: 9.

Область определения функции: \(x-3 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne 3.\)

Упростим заданную функцию:

\(y = \dfrac{{\left( {{x^2}-3x} \right) \cdot \left| x \right|}}{{x-3}} = \dfrac{{x\left( {x-3} \right) \cdot \left| x \right|}}{{x-3}} = x \cdot \left| x \right|,\,\,\,\,\,\,x \ne 3.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}x \cdot x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\x \cdot \left( {-x} \right)\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-{x^2}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком квадратичной функции \(y = -{x^2}\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot \left( {-1} \right)}} = 0.\)

Для построения графика при \(x < 0\) возьмём значения   \(x = -3,\)   \(x = -2,\)   \(x = -1\)   и   \(x = 0:\)

\(y\left( {-3} \right) = -{\left( {-3} \right)^2} = -9;\)          \(y\left( {-2} \right) = -{\left( {-2} \right)^2} = -4;\)

\(y\left( {-1} \right) = -{\left( {-1} \right)^2} = -1;\)          \(y\left( 0 \right) = -{0^2} = 0.\)

Графиком квадратичной функции \(y = {x^2}\) является парабола, с выколотой точкой, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину параболы:

\({x_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = -\dfrac{0}{{2 \cdot 1}} = 0.\)

Для построения графика \(y = {x^2}\) при \(x \ge 0\) возьмём значения   \(x = 0,\)   \(x = 1,\)   \(x = 2\)   и  \(x = 3:\)

\(y\left( 0 \right) = {0^2} = 0;\)          \(y\left( 1 \right) = {1^2} = 1;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^2} = 4;\)         \(y\left( 3 \right) = {3^2} = 9.\)

График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {3;9} \right)\), изображён на рис. 1. Точка \(\left( {0;0} \right)\) является точкой стыка двух парабол.

Изобразим график горизонтальной прямой \(y = m,\) при которой он не будет иметь с графиком построенной функции общих точек.

Подходит единственный случай прямая \(y = 9\), проходящая через выколотую точку \(\left( {3;9} \right)\) (см. рис. 2).

Следовательно, при \(m = 9\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком заданной функции ни одной общей точки.

При любом другом значении m прямая \(y = m\) будет иметь с графиком заданной функции одну общую точку.

Ответ: 9.