ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 72

ОТВЕТ: \(-4;\,\,\,\,\,\,0;\,\,\,\,\,\,4.\)

Найдём область определения функции, учитывая, что \({x^2} = {\left| x \right|^2}\):

\(\left| x \right|-2{x^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left| x \right|-2{\left| x \right|^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left| x \right|\left( {1-2\left| x \right|} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| \ne 0,\\1-2\left| x \right| \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\\left| x \right| \ne 0,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne -0,5,\\x \ne 0,5.\end{array} \right.\)

Упростим заданную функцию:

\(y = \dfrac{{2\left| x \right|-1}}{{\left| x \right|-2{x^2}}} = \dfrac{{2\left| x \right|-1}}{{\left| x \right|-2{{\left| x \right|}^2}}} = \dfrac{{2\left| x \right|-1}}{{-\left| x \right|\left( {2\left| x \right|-1} \right)}} = -\dfrac{1}{{\left| x \right|}},\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,x \ne \pm 0,5.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}-\dfrac{1}{x}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x > 0,\,\,\,\,\,x \ne 0,5,\\\dfrac{1}{x}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0,\,\,\,\,\,x \ne -0,5.\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком функции \(y = \dfrac{1}{x}\) является гипербола с выколотой точкой, для построения графика которой при \(x < 0\) возьмём значения  \(x = -2,\)   \(x = -1\)   и   \(x = -0,5:\)

\(y\left( {-2} \right) = \dfrac{1}{{-2}} = -0,5;\)      \(y\left( {-1} \right) = \dfrac{1}{{-1}} = -1;\)      \(y\left( {-0,5} \right) = \dfrac{1}{{-0,5}} = -2.\)

Графиком функции \(y = -\dfrac{1}{x}\) является гипербола с выколотой точкой, для построения графика которой при \(x > 0\) возьмём значения  \(x = 0,5,\)   \(x = 1\)   и   \(x = 2:\)

\(y\left( {0,5} \right) = -\dfrac{1}{{0,5}} = -2;\)       \(y\left( 1 \right) = -\dfrac{1}{1} = -1;\)     \(y\left( 2 \right) = -\dfrac{1}{2} = -0,5.\)

График исходной функции, с выколотыми точками \(\left( {-0,5;-2} \right)\) и \(\left( {0,5;-2} \right)\), изображён на рис. 1.

Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\)

Изобразим графики прямых \(y = k\,x\), при которых они не будут иметь с графиком построенной функции общих точек.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = 0\), совпадающая с осью абсцисс и являющаяся асимптотой к построенным гиперболам, то есть \(k = 0\);

случай (2): прямая, проходящая через выколотую точку \(\left( {-0,5;-2} \right)\). Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\):

\(-2 = k \cdot \left( {-0,5} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = 4;\)

случай (3): прямая, проходящая через выколотую точку \(\left( {0,5;-2} \right)\). Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\):

\(-2 = k \cdot 0,5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = -4.\)

Следовательно, при \(k = 0,\,\,\,\,\,k = 4\) и \(k = -4\) прямая \(y = k\,x\) не будет иметь с графиком заданной функции общих точек.

Ответ: \(-4;\,\,\,\,\,\,0;\,\,\,\,\,\,4.\)