Задача 73. Постройте график функции \(y = \dfrac{{\left| x \right|-1}}{{\left| x \right|-{x^2}}}.\)
Определите, при каких значениях k прямая \(y = k\,x\) не имеет с графиком общих точек.
ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\,\,0;\,\,\,\,\,\,1.\)
Найдём область определения функции, учитывая, что \({x^2} = {\left| x \right|^2}\): \(\left| x \right|-{x^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left| x \right|-{\left| x \right|^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left| x \right|\left( {1-\left| x \right|} \right) \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| \ne 0,\\1-\left| x \right| \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\\left| x \right| \ne 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0,\\x \ne -1,\\x \ne 1.\end{array} \right.\) Упростим заданную функцию: \(y = \dfrac{{\left| x \right|-1}}{{\left| x \right|-{x^2}}} = \dfrac{{\left| x \right|-1}}{{\left| x \right|-{{\left| x \right|}^2}}} = \dfrac{{\left| x \right|-1}}{{-\left| x \right|\left( {\left| x \right|-1} \right)}} = -\dfrac{1}{{\left| x \right|}},\,\,\,\,\,\,x \ne 0,\,\,\,\,\,\,x \ne \pm 1.\) Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\) Тогда функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}-\dfrac{1}{x}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x > 0,\,\,\,\,\,x \ne 1,\\\dfrac{1}{x}\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0,\,\,\,\,\,x \ne -1.\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком функции \(y = \dfrac{1}{x}\) является гипербола с выколотой точкой, для построения графика которой при \(x < 0\) возьмём значения \(x = -2,\) \(x = -1\) и \(x = -0,5:\) \(y\left( {-2} \right) = \dfrac{1}{{-2}} = -0,5;\) \(y\left( {-1} \right) = \dfrac{1}{{-1}} = -1;\) \(y\left( {-0,5} \right) = \dfrac{1}{{-0,5}} = -2.\) Графиком функции \(y = -\dfrac{1}{x}\) является гипербола с выколотой точкой, для построения графика которой при \(x > 0\) возьмём значения \(x = 0,5,\) \(x = 1\) и \(x = 2:\) \(y\left( {0,5} \right) = -\dfrac{1}{{0,5}} = -2;\) \(y\left( 1 \right) = -\dfrac{1}{1} = -1;\) \(y\left( 2 \right) = -\dfrac{1}{2} = -0,5.\) Графиком функции \(y = k\,x\) является множество прямых проходящих через точку \(\left( {0;0} \right).\) Изобразим графики прямых \(y = k\,x\), при которых они не будут иметь с графиком построенной функции общих точек. Подходят: случай (1): прямая \(y = 0\), совпадающая с осью абсцисс и являющаяся асимптотой к построенным гиперболам, то есть \(k = 0\); случай (2): прямая, проходящая через выколотую точку \(\left( {-1;-1} \right)\). Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\): \(-1 = k \cdot \left( {-1} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = 1;\) случай (3): прямая, проходящая через выколотую точку \(\left( {1;-1} \right)\). Для нахождения углового коэффициента k подставим координаты этой точки в уравнение прямой \(y = k\,x\): \(-1 = k \cdot 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = -1.\) Следовательно, при \(k = 0,\,\,\,\,\,k = 1\) и \(k = -1\) прямая \(y = k\,x\) не будет иметь с графиком заданной функции общих точек. Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,\,0;\,\,\,\,\,\,1.\)
x
\(-2\)
\(-1\)
\(-0,5\)
y
\(-0,5\)
\(-1\)
\(-2\)
x
0,5
1
2
y
\(-2\)
\(-1\)
\(-0,5\)
График исходной функции, с выколотыми точками \(\left( {-1;-1} \right)\) и \(\left( {1;-1} \right)\), изображён на рис. 1.