ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 83

ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\,1.\)

Область определения функции: \(x \ne 0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x} \ge 0,\\\dfrac{1}{2}\left( {-\dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x} < 0.\end{array} \right.\)

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2}\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x} \ge 0,\\\dfrac{2}{x}\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x} < 0.\end{array} \right.\)

Решим неравенство:

\(\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-{2^2}}}{{2x}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{2x}} \ge 0.\)

Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\(\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 = 0,}\\{x + 2 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2,\\x = -2.\end{array} \right.\)

Найдём нули знаменателя: \(2x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 0.\)

Таким образом,

\(\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-2;0} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right);\)

\(\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {0;2} \right).\)

Следовательно,

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-2;0} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right),\\\dfrac{2}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {0;2} \right).\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком функции \(y = \dfrac{x}{2}\) является прямая, для построения графика которой при \(x \in \left[ {-2;0} \right)\) возьмём значения   \(x = -2\)   и   \(x = 0:\)

\(y\left( {-2} \right) = \dfrac{{-2}}{2} = -1;\)           \(y\left( 0 \right) = \dfrac{0}{2} = 0.\)

При \(x \in \left[ {2; + \infty } \right)\) возьмём значения  \(x = 2\)   и   \(x = 4:\)

\(y\left( 2 \right) = \dfrac{2}{2} = 1;\)              \(y\left( 4 \right) = \dfrac{4}{2} = 2.\)

Графиком функции \(y = \dfrac{2}{x}\) является гипербола, для построения графика которой при \(x \in \left( {-\infty ;-2} \right)\) возьмём значения   \(x = -8,\)   \(x = -4\)   и   \(x = -2:\)

\(y\left( {-8} \right) = \dfrac{2}{{-8}} = -0,25;\)         \(y\left( {-4} \right) = \dfrac{2}{{-4}} = -0,5;\)        \(y\left( {-2} \right) = \dfrac{2}{{-2}} = -1.\)

При \(x \in \left( {0;2} \right)\) возьмём значения   \(x = 0,5,\)   \(x = 1\)   и   \(x = 2:\)

\(y\left( {0,5} \right) = \dfrac{2}{{0,5}} = 4;\)         \(y\left( 1 \right) = \dfrac{2}{1} = 2;\)         \(y\left( 2 \right) = \dfrac{2}{2} = 1.\)

График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {0;0} \right)\), изображён на рис. 1. Точки \(\left( {-2;-1} \right)\) и \(\left( {2;1} \right)\) являются точками стыка прямой и гиперболы.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно одну общую точку (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -1\), проходящая через точку стыка \(\left( {-2;-1} \right)\);

случай (2): прямая \(y = 1\), проходящая через точку стыка \(\left( {2;\,1} \right).\)

Следовательно, при \(m = -1\) и \(m = 1\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,1.\)