Задача 85. Постройте график функции \(y = \dfrac{1}{2}\left( {\left| {\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x}} \right| + \dfrac{x}{{1,5}} + \dfrac{{1,5}}{x}} \right).\)
Определите, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\,1.\)
Область определения функции: \(x \ne 0.\) Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\) Тогда функция примет вид: \(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x} + \dfrac{x}{{1,5}} + \dfrac{{1,5}}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x} \ge 0,\\\dfrac{1}{2}\left( {-\dfrac{x}{{1,5}} + \dfrac{{1,5}}{x} + \dfrac{x}{{1,5}} + \dfrac{{1,5}}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x} < 0.\end{array} \right.\) \(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{1,5}}\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x} \ge 0,\\\dfrac{{1,5}}{x}\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x} < 0.\end{array} \right.\) Решим неравенство: \(\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-{{1,5}^2}}}{{1,5x}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x-1,5} \right)\left( {x + 1,5} \right)}}{{1,5x}} \ge 0.\) Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \(\left( {x-1,5} \right)\left( {x + 1,5} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-1,5 = 0,}\\{x + 1,5 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1,5,\\x = -1,5.\end{array} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(1,5x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 0.\) Таким образом, \(\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-1,5;0} \right) \cup \left[ {1,5; + \infty } \right);\) \(\dfrac{x}{{1,5}}-\dfrac{{1,5}}{x} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-1,5} \right) \cup \left( {0;1,5} \right).\) Следовательно, \(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{1,5}}\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-1,5;0} \right) \cup \left[ {1,5; + \infty } \right),\\\dfrac{{1,5}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-1,5} \right) \cup \left( {0;1,5} \right).\end{array} \right.\) Таким образом, получена кусочная функция. Графиком функции \(y = \dfrac{x}{{1,5}}\) является прямая, для построения графика которой при \(x \in \left[ {-1,5;0} \right)\) возьмём значения \(x = -1,5\) и \(x = 0:\) \(y\left( {-1,5} \right) = \dfrac{{-1,5}}{{1,5}} = -1;\) \(y\left( 0 \right) = \dfrac{0}{{1,5}} = 0.\) При \(x \in \left[ {1,5; + \infty } \right)\) возьмём значения \(x = 1,5\) и \(x = 3:\) \(y\left( {1,5} \right) = \dfrac{{1,5}}{{1,5}} = 1;\) \(y\left( 3 \right) = \dfrac{3}{{1,5}} = 2.\) Графиком функции \(y = \dfrac{{1,5}}{x}\) является гипербола, для построения графика которой при \(x \in \left( {-\infty ;-1,5} \right)\) возьмём значения \(x = -5,\) \(x = -3\) и \(x = -1,5:\) \(y\left( {-5} \right) = \dfrac{{1,5}}{{-5}} = -0,3;\) \(y\left( {-3} \right) = \dfrac{{1,5}}{{-3}} = -0,5;\) \(y\left( {-1,5} \right) = \dfrac{{1,5}}{{-1,5}} = -1.\) При \(x \in \left( {0;1,5} \right)\) возьмём значения \(x = 0,5,\) \(x = 1\) и \(x = 1,5:\) \(y\left( {0,5} \right) = \dfrac{{1,5}}{{0,5}} = 3;\) \(y\left( 1 \right) = \dfrac{{1,5}}{1} = 1,5;\) \(y\left( {1,5} \right) = \dfrac{{1,5}}{{1,5}} = 1.\) Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно одну общую точку (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом. Подходят: случай (1): прямая \(y = -1\), проходящая через точку стыка \(\left( {-1,5;-1} \right)\); случай (2): прямая \(y = 1\), проходящая через точку стыка \(\left( {1,5;\,1} \right).\) Следовательно, при \(m = -1\) и \(m = 1\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку. Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,1.\) 
x
\(-1,5\)
0
y
\(-1\)
0
x
1,5
3
y
1
2
x
\(-5\)
\(-3\)
\(-1,5\)
y
\(-0,3\)
\(-0,5\)
\(-1\)
x
0,5
1
1,5
y
3
1,5
1
График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {0;0} \right)\), изображён на рис. 1. Точки \(\left( {-1,5;-1} \right)\) и \(\left( {1,5;1} \right)\) являются точками стыка прямой и гиперболы.