ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 86

ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\,1.\)

Область определения функции: \(x \ne 0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{5,5}}-\dfrac{{5,5}}{x} + \dfrac{x}{{5,5}} + \dfrac{{5,5}}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{5,5}}-\dfrac{{5,5}}{x} \ge 0,\\\dfrac{1}{2}\left( {-\dfrac{x}{{5,5}} + \dfrac{{5,5}}{x} + \dfrac{x}{{5,5}} + \dfrac{{5,5}}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{5,5}}-\dfrac{{5,5}}{x} < 0.\end{array} \right.\)

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{5,5}}\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{5,5}}-\dfrac{{5,5}}{x} \ge 0,\\\dfrac{{5,5}}{x}\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{5,5}}-\dfrac{{5,5}}{x} < 0.\end{array} \right.\)

Решим неравенство:

\(\dfrac{x}{{5,5}}-\dfrac{{5,5}}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-{{5,5}^2}}}{{5,5x}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x-5,5} \right)\left( {x + 5,5} \right)}}{{5,5x}} \ge 0.\)

Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\(\left( {x-5,5} \right)\left( {x + 5,5} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-5,5 = 0,}\\{x + 5,5 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 5,5,\\x = -5,5.\end{array} \right.\)

Найдём нули знаменателя: \(5,5x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 0.\)

Таким образом,

\(\dfrac{x}{{5,5}}-\dfrac{{5,5}}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-5,5;0} \right) \cup \left[ {5,5; + \infty } \right);\)

\(\dfrac{x}{{5,5}}-\dfrac{{5,5}}{x} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-5,5} \right) \cup \left( {0;5,5} \right).\)

Следовательно,

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{5,5}}\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-5,5;0} \right) \cup \left[ {5,5; + \infty } \right),\\\dfrac{{5,5}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-5,5} \right) \cup \left( {0;5,5} \right).\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком функции \(y = \dfrac{x}{{5,5}}\) является прямая, для построения графика которой при \(x \in \left[ {-5,5;0} \right)\) возьмём значения   \(x = -5,5\)   и   \(x = 0:\)

\(y\left( {-5,5} \right) = \dfrac{{-5,5}}{{5,5}} = -1;\)           \(y\left( 0 \right) = \dfrac{0}{{5,5}} = 0.\)

При \(x \in \left[ {5,5; + \infty } \right)\) возьмём значения   \(x = 5,5\)   и   \(x = 11:\)

\(y\left( {5,5} \right) = \dfrac{{5,5}}{{5,5}} = 1;\)              \(y\left( {11} \right) = \dfrac{{11}}{{5,5}} = 2.\)

Графиком функции \(y = \dfrac{{5,5}}{x}\) является гипербола, для построения графика которой при \(x \in \left( {-\infty ;-5,5} \right)\) возьмём значения   \(x = -11,\)   \(x = -8\)   и   \(x = -5,5:\)

\(y\left( {-11} \right) = \dfrac{{5,5}}{{-11}} = -0,5;\)          \(y\left( {-8} \right) = \dfrac{{5,5}}{{-8}} = -\dfrac{{11}}{{16}};\)            \(y\left( {-5,5} \right) = \dfrac{{5,5}}{{-5,5}} = -1.\)

При \(x \in \left( {0;5,5} \right)\) возьмём значения   \(x = 1,\)   \(x = 2\)   и   \(x = 5,5:\)

\(y\left( 1 \right) = \dfrac{{5,5}}{1} = 5,5;\)         \(y\left( 2 \right) = \dfrac{{5,5}}{2} = 2,75;\)         \(y\left( {5,5} \right) = \dfrac{{5,5}}{{5,5}} = 1.\)

График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {0;0} \right)\), изображён на рис. 1. Точки \(\left( {-5,5;-1} \right)\) и \(\left( {5,5;1} \right)\) являются точками стыка прямой и гиперболы.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно одну общую точку (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -1\), проходящая через точку стыка \(\left( {-5,5;-1} \right)\);

случай (2): прямая \(y = 1\), проходящая через точку стыка \(\left( {5,5;\,1} \right).\)

Следовательно, при \(m = -1\) и \(m = 1\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,1.\)