ОГЭ по математике. №22 Функции, содержащие модули. ФИПИ. Задача 87

ОТВЕТ: \(-1;\,\,\,\,\,1.\)

Область определения функции: \(x \ne 0.\)

Для построения графика заданной функции воспользуемся тем, что:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x \ge 0,\\-x\,\,\,\,\,при\,\,\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

Тогда функция примет вид:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x} + \dfrac{x}{6} + \dfrac{6}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x} \ge 0,\\\dfrac{1}{2}\left( {-\dfrac{x}{6} + \dfrac{6}{x} + \dfrac{x}{6} + \dfrac{6}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x} < 0.\end{array} \right.\)

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{6}\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x} \ge 0,\\\dfrac{6}{x}\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x} < 0.\end{array} \right.\)

Решим неравенство:

\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-{6^2}}}{{6x}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x-6} \right)\left( {x + 6} \right)}}{{6x}} \ge 0.\)

Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\(\left( {x-6} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-6 = 0,}\\{x + 6 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 6,\\x = -6.\end{array} \right.\)

Найдём нули знаменателя:   \(6x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 0.\)

Таким образом,

\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-6;0} \right) \cup \left[ {6; + \infty } \right);\)

\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-6} \right) \cup \left( {0;6} \right).\)

Следовательно,

\(y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-6;0} \right) \cup \left[ {6; + \infty } \right),\\\dfrac{6}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,при\,\,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-6} \right) \cup \left( {0;6} \right).\end{array} \right.\)

Таким образом, получена кусочная функция.

Графиком функции \(y = \dfrac{x}{6}\) является прямая, для построения графика которой при \(x \in \left[ {-6;0} \right)\) возьмём значения   \(x = -6\)   и   \(x = 0:\)

\(y\left( {-6} \right) = \dfrac{{-6}}{6} = -1;\)           \(y\left( 0 \right) = \dfrac{0}{6} = 0.\)

При \(x \in \left[ {6; + \infty } \right)\) возьмём значения   \(x = 6\)   и   \(x = 9:\)

\(y\left( 6 \right) = \dfrac{6}{6} = 1;\)        \(y\left( 9 \right) = \dfrac{9}{6} = 1,5.\)

Графиком функции \(y = \dfrac{6}{x}\) является гипербола, для построения графика которой при \(x \in \left( {-\infty ;-6} \right)\) возьмём значения   \(x = -10,\)   \(x = -8\)   и   \(x = -6:\)

\(y\left( {-10} \right) = \dfrac{6}{{-10}} = -0,6;\)           \(y\left( {-8} \right) = \dfrac{6}{{-8}} = -0,75;\)           \(y\left( {-6} \right) = \dfrac{6}{{-6}} = -1.\)

При \(x \in \left( {0;6} \right)\) возьмём значения   \(x = 1,\)   \(x = 3\)   и   \(x = 6:\)

\(y\left( 1 \right) = \dfrac{6}{1} = 6;\)             \(y\left( 3 \right) = \dfrac{6}{3} = 2;\)         \(y\left( 6 \right) = \dfrac{6}{6} = 1.\)

График исходной функции, с выколотой точкой \(\left( {0;0} \right)\), изображён на рис. 1. Точки \(\left( {-6;-1} \right)\) и \(\left( {6;1} \right)\) являются точками стыка прямой и гиперболы.

Изобразим графики горизонтальных прямых \(y = m,\) при которых они будут иметь с графиком построенной функции ровно одну общую точку (см. рис. 2). Точки пересечения прямых \(y = m\) с графиком заданной функции отмечены красным цветом.

Подходят:

случай (1): прямая \(y = -1\), проходящая через точку стыка \(\left( {-6;-1} \right)\);

случай (2): прямая \(y = 1\), проходящая через точку стыка \(\left( {6;\,1} \right).\)

Следовательно, при \(m = -1\) и \(m = 1\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: \(-1;\,\,\,\,\,1.\)