Текстовое решение задач:
| 1B | 2B | 3B | 4B | 5B | 6B | 7B | 8B | 9B | 10B |
| 11B | 12B | 13B | 14B | 15B | 16B | 17B | 18B | 19B | 20B |
| 21B | 22B | 23B | 24B | 25B | 26B | 27B | 28B | 29B | 30B |
ЕГЭ Профиль №14. Вычисление отношений отрезков
1В. Точка M лежит на ребре AB треугольной пирамиды ABCD, причём AM : MB = 1 : 2.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и середины рёбер BC и AD.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро CD?
2В. Точка M — середина ребра AD треугольной пирамиды ABCD. Точки K и L лежат на прямых AB и AC соответственно, причём B — середина отрезка AK, а C — середина отрезка AL.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, K и L.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BD?
3В. Точки M и N — середины рёбер соответственно AB и BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N и D1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро AA1?
4В. Точка M — середина ребра CD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, A1 и C1.
б) Пусть секущая плоскость пересекает прямую DD1 в точке P. Найдите отношение PD : PD1.
5В. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD с центром O. Точка M лежит на отрезке SO, причём OM : MS = 1 : 2.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AM параллельно прямой BD.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?
6В. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD с центром O. Точка M — середина отрезка AO.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым SA и BD.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?
7В. Точки M и N — середины рёбер соответственно CC1 и AB треугольной призмы ABCA1B1C1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M, N и A1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BC?
8В. Точки M и N — середины рёбер соответственно AA1 и AB треугольной призмы ABCA1B1C1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M, N и C1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BC?
9В. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 —правильные шестиугольники. Точка M — середина ребра AA1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки C, D и M.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BB1?
10В. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 —правильные шестиугольники.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и D1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро FF1?
11В. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Точки M и N — середины рёбер BC и EF.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MN параллельно ребру SA.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?
12В. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BF параллельно ребру SA.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?
13В. Точка M — середина ребра AD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым BD и CB1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит диагональ AC1 параллелепипеда?
14В. Точка M — середина ребра AD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M и B1 параллельно прямой A1C1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит диагональ BD1 параллелепипеда?
15В. Точки M и N — середины рёбер соответственно AB и CD треугольной пирамиды ABCD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку пересечения медиан треугольника ABC параллельно прямым AB и CD.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок MN?
16В. Точки M и N — середины рёбер соответственно AB и CD треугольной пирамиды DABC.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AD параллельно прямым AB и CD.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок MN?
17В. Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание которой параллелограмм ABCD. Точка M — середина ребра AB.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и SB.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий точку D с серединой ребра SB?
18В. Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание которой параллелограмм ABCD. Точка M — середина ребра SD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BM параллельно прямой AC.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий точку S с центром параллелограмма ABCD?
19В. Точка M —середина ребра AB треугольной призмы ABCA1B1C1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую A1M параллельно прямой AC.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий точку B1 с серединой ребра AC?
20В. Точки M и N — середины рёбер соответственно AC и BB1 треугольной призмы ABCA1B1C1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей MNC1 и A1B1C1.
б) В каком отношении плоскость MNC1 делит ребро AB?
21В. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 —правильные шестиугольники. Точка M — середина ребра CC1, O — центр грани ABCDEF.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M, O и E1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро EF?
22В. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 —правильные шестиугольники. Точка M — середина ребра CC1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей D1ME1 и ABC.
б) В каком отношении плоскость D1ME1 делит диагональ B1E призмы?
23В. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Точки M и N — середины рёбер SA и SC соответственно.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N и B.
б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий вершину S с центром основания пирамиды?
24В. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Точка M — середина ребра BC.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей FSM и ASB.
б) В каком отношении плоскость FSM делит отрезок, соединяющий точку A с серединой ребра SD?
25В. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина ребра C1D1, а точка К делит ребро АА1 в отношении АК : КА1 = 1 : 3.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки К и М параллельно прямой BD.
б) В каком отношении плоскость сечения делит диагональ А1С?
26В. На ребрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причем DP = 4, а B1Q = 3.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, P и Q.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро СС1?
27В. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Точка Q – середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A, P и Q.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро СС1?
28В. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки P и Q – середины ребер A1B1 и CC1 соответственно.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, P и Q.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро B1С1?
29В. На ребре АА1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка Е так, что A1E : EA = 3 : 4. Точка Т – середина ребра С1В1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е, Т и D1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BB1?
30В. В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребре ВВ1 взята точка Е так, что B1E : EB = 2 : 3.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E и С1 параллельно прямой BD1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро A1B1?