ЕГЭ Профиль №14. Угол между прямыми
Угол между двумя прямыми. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. Очевидно, \({0^ \circ } < \alpha \leqslant {90^ \circ }\). Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. Для нахождения этого угла, как правило, используют теорему косинусов. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен \({90^ \circ }\). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.
Нахождение угла между прямыми координатным методом.
1) Находим координаты двух точек на каждой из прямых.
2) Находим координаты векторов (для этого из координат конца вычитаем соответствующие координаты начала).
3) Используя скалярное произведение векторов, находим косинус угла между эти векторами, который и будет являться косинусом угла между прямыми, \(\cos \left( {\overrightarrow a {,^ \wedge }{\kern 1pt} \overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a {\kern 1pt} {\kern 1pt} \overrightarrow b }}{{\left| {\,\overrightarrow a \,} \right|{\kern 1pt} \left| {{\kern 1pt} \overrightarrow b {\kern 1pt} } \right|}} = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \,\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\), где x1, y1, z1 координаты вектора \(\vec a\), а x2, y2, z2 координаты вектора \(\vec b\).
4) Если косинус получился равен отрицательному значению, то берем это значение по модулю.
1В. Дана треугольная пирамида ABCD.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно рёбрам AD и BC.
б) Найдите угол между прямыми AD и BC, если AD = 24, BC = 10, а расстояние между серединами рёбер BD и AC равно 13.
2В. Точка K лежит на ребре AD треугольной пирамиды ABCD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точку K параллельно рёбрам AB и CD.
б) Пусть M — точка пересечения плоскости α с ребром BC. Найдите угол между прямыми AB и CD, если K — середина ребра AD, AB = 8, CD = 6, KM = 5.
3В. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина бокового ребра SC.
а) Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью грани ESF.
б) Найдите угол между прямыми BM и DE.
4В. Точка G лежит на боковом ребре SC правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF с вершиной S.
а) Постройте точку пересечения прямой BG с плоскостью боковой грани ESF.
б) Найдите угол между прямыми BG и AD, если стороны основания пирамиды равны 6, боковые рёбра равны \(3\sqrt {13} \), а SG : GC = 1 : 2.
5В. Основания призмы ABCA1B1C1 — равносторонние треугольники. Точки M и M1 — центры оснований ABC и A1B1C1 соответственно.
а) Докажите, что угол между прямыми BM и C1M1 равен \({60^\circ }\).
б) Найдите угол между прямыми BM1 и C1M, если призма прямая и AB : AA1 = 3 : 2.
6В. Основание прямой призмы ABCA1B1C1 — равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Точка M —середина ребра AB. Известно, что AB = 2AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и MB1 перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми AC1 и MB1.
7В. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 со стороной основания \(\sqrt 3 \) и боковым ребром 1.
а) Докажите, что плоскости ACA1 и B1CE1 перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми BF1 и CD1.
8В. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
а) Докажите, что плоскости AB1F и ACC1 перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми AB1 и CF1, если \(A{A_1} = AB\sqrt 2 \).
9В. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Точка K —середина ребра SD.
а) Плоскость проходит через точку K параллельно медианам BM и SN граней BSC и ASD. Постройте прямую пересечения этой плоскости с плоскостью основания пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми BM и SN, если пирамида SABCD правильная, причём все её рёбра равны.
10В. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки K и L —центры граней BB1C1C и A1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что точка пересечения прямой KL с плоскостью основания ABCD равноудалена от вершин B и C.
б) Пусть M — середина ребра CD. Найдите котангенс угла между прямыми MD1 и KL, если известно, что AB = 2AA1.
11В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точка M — середина ребра A1B1.
а) Докажите, что любая плоскость, проведённая через точку M параллельно диагонали CA1 параллелепипеда, проходит через центр грани BB1C1C.
б) Найдите угол между прямыми BM и CB1, если параллелепипед прямоугольный, AB = 2BC и CC1 : BC = 4 : 3.
12В. Основание пирамиды SABCD — квадрат ABCD, высота пирамиды проходит через точку D.
а) Докажите, что все боковые грани пирамиды — прямоугольные треугольники.
б) Пусть M — середина бокового ребра SC. Найдите угол между прямыми AM и BC, если известно, что отношение высоты пирамиды к стороне её основания равно \(\sqrt {11} \).
13В. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точки M и N — середины рёбер AB и SC.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MN параллельно SA.
б) Найдите угол между прямыми SA и MN, если боковое ребро пирамиды равно стороне основания.
14В. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B.
а) Докажите, что отрезок, соединяющий середины рёбер BC и AD, равен отрезку, соединяющему середины рёбер AB и CD.
б) Найдите угол между прямой BD и прямой, проходящей через середины рёбер BC и AD, если известно, что BD = AC.
15В. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. На ребре BC взята точка M, причём BM : CM = 1 : 2.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через центры граней A1B1C1 и BB1C1C параллельно ребру AC, проходит через точку M.
б) Пусть K — середина ребра A1C1, N — центр грани BB1C1C. Найдите угол между прямыми B1K и MN, если \(AC = 18\sqrt 3 ,\;\;A{A_1} = \sqrt {13} \).
16В. Основание призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильный шестиугольник ABCDEF.
а) Постройте точку пересечения прямой B1E с плоскостью ACD1.
б) Найдите угол между прямыми AB1 и BD1, если призма правильная, а \(A{A_1}:AB = \sqrt 3 :1\).
17В. Дана прямая призма ABCA1B1C1. Плоскость, проходящая через центр основания A1B1C1 и середину K ребра BC, параллельна прямой AB. Эта плоскость пересекает прямую CC1 в точке L.
а) Докажите, что CL = 3CC1.
б) Найдите угол между прямыми KL и AC1, если ∠ACB = \({90^\circ }\) и \(A{A_1} = AC = \frac{1}{4}BC\).
18В. В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC и прямым углом при вершине A, причём BC = 2AD. Высота пирамиды проходит через точку A.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AD и середину M ребра SC, — прямоугольник.
б) Найдите косинус угла между прямыми AM и CD, если известно, что AD = AB и \(SA = \sqrt 3 AB\).
19В. В основании пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Высота пирамиды проходит через точку A, SH — высота треугольника BSC. Известно, что BC = 2AD, AB = AD = 2SA.
а) Докажите, что SH = CD.
б) Найдите косинус угла между прямыми CD и SH.
20В. Основание ABCD прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — ромб с острым углом \({60^\circ }\) при вершине A. Точка M — середина ребра CD, точка H лежит на стороне AB, причём DH — высота ромба ABCD.
а) Докажите, что D1M ⊥DH.
б) Найдите угол между прямыми MD1 и BC1, если ∠ABA1 = \({60^\circ }\).
21В. Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 2BC и боковой стороной AB = BC.
а) Докажите, что AB ⊥ DB1.
б) Найдите угол между прямыми CD1 и DB1, если боковая грань AA1D1D — квадрат.
22В. Две правильные пирамиды DABC и FABC имеют общее основание ABC и расположены по разные стороны от него. Все плоские углы при вершинах D и F прямые.
а) Докажите, что угол между плоскостями ADB и AFB равен углу между прямыми CD и CF.
б) Найдите угол между прямыми AD и BF, если боковые рёбра каждой пирамиды равны 1.
23В. Две правильные четырёхугольные пирамиды EABCD и FABCD имеют общее основание ABCD и расположены по разные стороны от него. Точки M и N — середины рёбер BC и AB соответственно. Все рёбра пирамид равны.
а) Докажите, что угол между прямыми AE и BF равен \({60^\circ }\).
б) Найдите угол между прямыми EM и FN.
24В. Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N — середины рёбер АD и BC соответственно.
а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС.
б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если \(BD = 6\sqrt 2 \), AC = 16.