Скачать файл в формате pdf.


ЕГЭ Профиль №14. Площадь сечения

При нахождении угла между двумя плоскостями можно использовать теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. При применении этого метода угол φ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу \(\cos \phi  = \frac{{{S_{пр}}}}{S}\), где S — площадь многоугольника, лежащего в плоскости α, \({S_{пр}}\) — площадь его ортогональной проекции на плоскость β. Следовательно, площадь многоугольника, лежащего в плоскости α равна \(S = \frac{{{S_{пр}}}}{{\cos \varphi }}.\)



1В.
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.

а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 2.

Ответ

ОТВЕТ: \(2\sqrt 5 .\)


2В. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT TD = 2 : 1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

Ответ

ОТВЕТ: 20/3.


3В. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.

а) Докажите, что B1U UC1 = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{11\sqrt 3 }}{2}.\)


4В. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно \(4\sqrt 3 \). На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM A1N C1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

Ответ

ОТВЕТ: 55.


5В. Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом \({120^ \circ }\) при вершине M. Образующая конуса равна \(2\sqrt 3 \). Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный.

б) Найдите площадь сечения.

Ответ

ОТВЕТ: \(4\sqrt 2 .\)


6В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, который является сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: 104.


7В. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F FB = 5 : 11, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что \(AB = 6\sqrt 2 \), AD = 10, AA1 = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Ответ

ОТВЕТ: 97,5.


. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что \(AB = 4\sqrt 2 \), AD = 12, AA1 = 14.

а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.

Ответ

ОТВЕТ: 90.


. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K — середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Ответ

ОТВЕТ: \(3\sqrt 3 .\)


10В. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK : KA1 = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке M.

а) Докажите, что MD : MD1 = 2 : 1

б) Найдите площадь сечения, если AB = 4, AA1 = 6.

Ответ

ОТВЕТ: \(8\sqrt 6 \).


11В. На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ : QB = 1 : 2. Точка P — середина ребра AS.

а) Докажите, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 5 \).


12В. В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG : GB = AF : FC = 1 : 5.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt {79} \).


13В. Через вершину S и диагональ BD основания правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF проведена плоскость α.

а) Докажите, что расстояние от центра основания до этой плоскости в три раза меньше расстояния до этой плоскости от точки F.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если сторона основания равна \(\sqrt 3 \), а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \({60^ \circ }\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3\sqrt {30} }}{4}\).


14В. Плоскость α проходит через сторону AB основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и середину ребра B1C1.

а) Пусть M — точка пересечения плоскости α с прямой CC1. Докажите, что C1 — середина отрезка CM.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если все рёбра призмы равны 4.

Ответ

ОТВЕТ: \(3\sqrt {19} \).


15В. Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S и делит стороны AB и BC основания пополам.

а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.

Ответ

ОТВЕТ: 1,5.


16В. Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD с вершиной в точке P. Через точку C и середину ребра AB перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость ? делит ребро BP в отношении 2 : 1, считая от точки B.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если известно, что PA = 10, AC = 16.

Ответ

ОТВЕТ: \(8\sqrt {10} \).


17В. В правильной шестиугольной пирамиде с вершиной S стороны основания ABCDEF равны 6, а боковые рёбра равны 12. Точки K и M — середины рёбер и SF и SE соответственно.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью BKM.

б) Найдите площадь полученного сечения.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{39\sqrt {39} }}{4}\).


18В. Точка M — середина ребра CD единичного куба ABCDA1B1C1D1. Через вершину A1 проведена плоскость, параллельная прямым AM и D1M.

а) Докажите, что эта плоскость проходит через середину ребра AB.

б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).


19В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1. Точки M и N — середины рёбер AD и CD соответственно, точка K лежит на ребре BB1, причём B1K KB = 1 : 2.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки M, N и K, делит ребро CC1 в отношении 2 : 7, считая от точки C.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью, если параллелепипед ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма, сторона основания ABCD равна \(4\sqrt 2 \), а боковое ребро равно 12.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{140}}{3}\).


20В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено сечение плоскостью, проходящей через середину M ребра AB, точку B1 и точку K, лежащую на ребре AC и делящую его в отношении AK KC = 1 : 3.

а) Докажите, что эта плоскость проходит через середину ребра A1C1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что сторона основания призмы равна \(4\sqrt 2 \), а высота призмы равна \(8\sqrt 2 \).

Ответ

ОТВЕТ: \(3\sqrt {195} \).


21В. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно плоскости SAD.

б) Найдите площадь полученного сечения, если площадь грани SAD равна 16.

Ответ

ОТВЕТ: 12.


22В. Основанием пирамиды SABCD с равными боковыми рёбрами является прямоугольник ABCD. Плоскость α проходит через сторону AB основания и середину высоты пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если AB = 6, AD = 8, а высота пирамиды равна 6.

Ответ

ОТВЕТ: 80/3.


23В. Через середину ребра AB куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость, параллельная прямым BD1 и A1C1.

а) Докажите, что эта плоскость делит диагональ DB1 в отношении 3 : 5, считая от вершины D.

б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно 4.

Ответ

ОТВЕТ: \(7\sqrt 6 \).


24В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через прямую BA1 параллельно прямой CB1.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ AC1 параллелепипеда в отношении 1 : 2, считая от вершины A.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью α, если он прямой, его основание ABCD — ромб с диагоналями AC = 10 и BD = 8, а боковое ребро параллелепипеда равно 12.

Ответ

ОТВЕТ: 52.


25В. Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Плоскость α проходит через прямую BC1 параллельно прямой AB1.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра AC.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если призма правильная, сторона её основания равна \(2\sqrt 3 \), а боковое ребро равно 1.

Ответ

ОТВЕТ: 3.


26В. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1,  M — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь этой трапеции.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{23\sqrt {219} }}{4}\).


27В. В правильном тетраэдре  ABCD с ребром 10 на ребрах AD, BD и AC выбраны точки K, L и M так, что \(KD = 4,\;MC = 6,\;\;LD = 8.\) Плоскость, проходящая через точки K, L и M, пересекает ребро BC в точке P.

а) Докажите, что \(CP:PB = 9:1\).

б) Найдите площадь четырехугольника MKLP.

Ответ

ОТВЕТ: \(11\sqrt 5 .\)


28В. В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер МА и МВ проведена плоскость α, параллельная ребру МС.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограмм.

б) Найдите площадь сечения пирамиды МАВС плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{9\sqrt 3 }}{2}.\)


29В. В правильной треугольной усеченной пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AB проведена плоскость α, которая пересекает ребро СС1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро СС1 в отношении 5 : 13, считая от вершины С1.

б) Найдите площадь сечения усеченной пирамиды плоскостью α, если высота этой пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

Ответ

ОТВЕТ: 48,5.


30В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA равно \(\sqrt {43} \). На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём  AM = 8,  SK : KB = 7 : 3.  Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.

а) Докажите, что плоскость α содержит точку C.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3\sqrt {73} }}{5}.\)

Решение


а) BP – медиана треугольника ABC.  
SO – высота пирамиды.

Пусть  \(CM \cap BP = H.\)

Выясним в каком отношении СМ делит ВО. По теореме Менелая:

 \(\frac{{AM}}{{MB}} \cdot \frac{{BH}}{{HP}} \cdot \frac{{PC}}{{CA}} = 1\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\frac{8}{1} \cdot \frac{{BH}}{{HP}} \cdot \frac{{PC}}{{2PC}} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{BH}}{{HP}} = \frac{3}{{12}}\).  

Пусть  \(BH = 3a,\) тогда \(HP = 12a\) и \(BP = 15a.\)  Точка О является точкой пересечения медиан треугольника ABC, поэтому \(\frac{{BO}}{{OP}} = \frac{2}{1}\). Следовательно, \(BO = \frac{2}{3}BP = \frac{2}{3} \cdot 15a = 10a\)   и   \(HO = BO — BH = 10a — 3a = 7a.\) Тогда:  \(\frac{{BH}}{{HO}} = \frac{{3a}}{{7a}} = \frac{3}{7}.\)   Так как   \(\frac{{BK}}{{KS}} = \frac{{BH}}{{HO}} = \frac{3}{7},\)  то  \(HK\parallel SO\)  и  \(HK \bot ABC.\) Следовательно, плоскость \(\alpha \), проходящая через точки М и К перпендикулярно плоскости АВС, проходит через точку С, что и требовалось доказать.

б)  По теореме косинусов из треугольника СВМ:

\(C{M^2} = C{B^2} + B{M^2} — 2 \cdot CB \cdot BM \cdot \cos {60^ \circ }\)

\(CM = \sqrt {{9^2} + {1^2} — 2 \cdot 9 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}\,} \,\,\,\,\, = \sqrt {73} .\)

\(BP = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \frac{{9\sqrt 3 }}{2};\)     \(HB = \frac{1}{5}BP = \frac{{9\sqrt 3 }}{{10}};\)     \(KB = \frac{3}{{10}}SB = \frac{{3\sqrt {43} }}{{10}}.\)

Из треугольника  KBH  по теореме Пифагора:  \(KH = \sqrt {K{B^2} — B{H^2}}  = \sqrt {\frac{{9 \cdot 43}}{{100}} — \frac{{81 \cdot 3}}{{100}}}  = \frac{6}{5}.\)

Тогда:   \({S_{CKM}} = \frac{1}{2} \cdot KH \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot \sqrt {73}  = \frac{{3\sqrt {73} }}{5}.\)

Ответ:  \(\frac{{3\sqrt {73} }}{5}.\)


31В. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно 12, а сторона основания AB равна 6. В боковых гранях SAB и SAD провели биссектрисы AL и AM соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ALM делит ребро SC пополам.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ALM.

Ответ

ОТВЕТ: 24.