ЕГЭ Профиль №14. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться одним из приведенных ниже четырех способов.
- Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный обеим) и найти его длину.
- Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от какой-нибудь точки второй прямой до построенной плоскости.
- Заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые, и найти расстояние между этими плоскостями.
- Построить плоскость α, перпендикулярную одной из данных прямых AB, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию C1D второй прямой CD. Тогда искомое расстояние это расстояние от точки A до прямой C1D, т.е. длина отрезка AH.
- Воспользоваться формулой для объема тетраэдра: \(V = \frac{1}{6}abh\sin \alpha ,\) где V – объем тетраэдра, а и b – длины его противолежащих ребер, h – расстояние между прямыми, содержащими эти ребра, α – угол между этими прямыми.
1В. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 6.
а) Докажите, что угол между прямыми АС и ВС1 равен 60°.
б) Найдите расстояние между прямыми АС и ВС1.
2В. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно прямым SA и BC.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и SC, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно \(5\sqrt {34} \).
3В. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат ABCD.
а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если стороны основания параллелепипеда равны 3, а боковые рёбра равны 6.
4В. Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине A, а боковая грань AA1C1C — квадрат.
а) Докажите, что прямые CB1 и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если AC = 2, \(A{B_1} = 2\sqrt 3 .\)
5В. Основание пирамиды SABCD — ромб ABCD с углом \({60^\circ }\) при вершине A. Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания.
а) Докажите, что прямые AC и SB перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания пирамиды равна \(2\sqrt 2 \).
6В. Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — ромб ABCD с углом \({120^\circ }\) при вершине D, а боковые грани призмы — квадраты.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания призмы равна \(8\sqrt 3 \).
7В. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна \(2\sqrt 3 \), а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
8В. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро \(PA = 12\sqrt 2 \). Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а) Докажите, что плоскость α делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2 : 1, считая от вершины Р.
б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.
9В. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.
10В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра АА1.
а) Докажите, что прямые MB и В1С перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми MB и В1С.
11В. Основание пирамиды SABCD — квадрат ABCD. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания.
а) Докажите, что плоскости ASD и CSD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми SC и BD, если сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна \(2\sqrt 2 \).
12В. Основание пирамиды SABCD — квадрат ABCD. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, а треугольник BSD равносторонний.
а) Докажите, что высота пирамиды равна стороне основания.
б) Найдите расстояние между прямыми SC и BD, если сторона основания равна \(2\sqrt 3 \).
13В. Основание пирамиды DABC — треугольник ABC со сторонами AC = 6, BC = 8, AB = 10. Все боковые рёбра равны.
а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину отрезка AB.
б) Найдите расстояние между прямыми DM и BC, где DM — высота пирамиды DABC.
14В. Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Все боковые рёбра образуют равные углы плоскостью основания.
а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину отрезка AB.
б) Известно, что AB = 18, AC = 6. Найдите расстояние между прямыми DM и CH, где DM — высота пирамиды DABC, CH — высота треугольника ABC.
15В. Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S образует с плоскостью основания угол \({45^\circ }\). Точка M — середина бокового ребра SD.
а) Докажите, что противоположные боковые грани пирамиды перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и CM, если сторона основания пирамиды равна \(\sqrt 2 \).
16В. Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S образует с плоскостью основания угол \({60^\circ }\). Точка M — середина бокового ребра SD.
а) Докажите, что плоскости AMB и CSD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и CM, если сторона основания пирамиды равна \(4\sqrt 3 \).
17В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте точку пересечения прямой AC1 с плоскостью BA1D.
б) Найдите расстояние между прямыми BA1 и CB1, если параллелепипед прямоугольный, \(A{A_1} = \sqrt 5 ,\;\;AB = BC = 2\sqrt {10} \).
18В. Точки M и N — середины рёбер соответственно AD и AB куба ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что косинус угла между прямыми D1M и A1N равен \(\frac{4}{5}\).
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если ребро куба равно 6.
19В. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Точка M — середина бокового ребра CS.
а) Постройте точку пересечения прямой BM с плоскостью ESF.
б) Найдите расстояние между прямыми BM и EF, если сторона основания пирамиды равна \(2\sqrt 6 \), а высота пирамиды равна \(3\sqrt 2 \).
20В. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Точка P — середина бокового ребра CC1.
а) Постройте точку пересечения прямой BP с плоскостью AA1F.
б) Найдите расстояние между прямыми BP и AB1, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно \(2\sqrt 3 \).
21В. Основание пирамиды SABCD — квадрат ABCD, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, BC = 2SA. Точка M — середина ребра AB.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SM параллельно BD, — равносторонний треугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми SM и BD, если \(AB = 6\sqrt 3 \).
22В. Основание пирамиды ABCD — равносторонний треугольник ABC, боковое ребро AD перпендикулярно плоскости основания, \(AD :BC = 1:\sqrt 2 \). Точки M и N — середины рёбер BC и AB соответственно.
а) Докажите, что угол между прямыми AM и DN равен \({60^\circ }\).
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если \(AB = 6\sqrt 2 \).
23В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Его основания ABCD и A1B1C1D1 — квадраты. Отрезок, соединяющий центр основания ABCD с серединой ребра B1C1, перпендикулярен основаниям.
а) Докажите, что грани AA1B1B и ABCD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AA1 и BC, если все рёбра параллелепипеда равны 2.
24В. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Его основания ABCD и A1B1C1D1 — квадраты. Отрезок, соединяющий вершину C с центром основания A1B1C1D1, перпендикулярен основаниям.
а) Докажите, что прямые CC1 и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми A1C и AB, если сторона основания параллелепипеда равна 6, а боковое ребро равно \(\sqrt {34} \).
25В. (ЕГЭ 2019) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 5, а боковое ребро SA равно 3. На ребрах AB и SC отмечены точки K и М соответственно, причем АК : КВ = SM : MC = 1 : 4. Плоскость α содержит прямую КМ и параллельна прямой SA.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AC в отношении 1 : 4, считая от вершины А.
б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
26В. (ЕГЭ 2021) В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABС. На прямой АА1 отмечена точка D так, что точка А1 – середина отрезка AD. На прямой В1С1 отмечена точка Е так, что точка С1 – середина отрезка В1Е.
а) Докажите, что прямые А1В1 и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми АВ и DE, если АВ = 4, АА1 = 1.