ЕГЭ Профиль №14. Угол между прямой и плоскостью
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой (АВ) и ее проекцией на данную плоскость (АС), т.е. синус этого угла α равен отношению противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ. На практике нахождение этого угла чаще всего сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости, т.е. к нахождению длины отрезка ВС. Очевидно, \({0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }\). Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен \({90^ \circ }\). Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между ними считается равным нулю.
Нахождение угла между прямой и плоскостью координатным методом. Пусть \(\overrightarrow a \) — вектор лежащий на прямой (или параллельный ей), который еще называют направляющим вектором прямой, а вектор \(\vec n\) — это вектор перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости). Искомый угол — это угол α. Используя скалярное произведение находим косинус угла α: \(\cos \,\beta = \frac{{\overrightarrow a \,\overrightarrow n }}{{\left| {\,\overrightarrow a \,} \right| \cdot \left| {\,\overrightarrow n \,} \right|}}\). Так как \(\beta = {90^ \circ } — \alpha \), то последняя формула примет вид: \(\sin \,\alpha = \frac{{\left| {\,\overrightarrow a \,\,\overrightarrow n \,} \right|}}{{\left| {\,\overrightarrow a \,} \right| \cdot \left| {\,\overrightarrow n \,} \right|}}\).
1В. Основание треугольной пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC \(\left( {\angle \,C = {{90}^ \circ }} \right)\). Высота пирамиды проходит через точку C.
а) Докажите, что противоположные рёбра пирамиды попарно перпендикулярны.
б) Найдите углы, которые образуют боковые рёбра DA и DB с плоскостью основания, если AC = 15, BC = 20, а угол между плоскостями ABC и ABD равен \({45^ \circ }\).
2В. Высота PC треугольной пирамиды PABC с вершиной P проходит через точку C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что основание пирамиды — прямоугольный треугольник.
б) Найдите углы, которые образуют боковые рёбра PA и PB с плоскостью основания, если AC = 6, BC = 8, а расстояние от точки P до прямой AB равно 5.
3В. Дана треугольная пирамида SABC с основанием ABC; O — точка пересечения медиан треугольника ABC.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB и середину отрезка SO, делит боковое ребро SC в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, если пирамида правильная, а её высота составляет \(\frac{4}{5}\) от высоты SM боковой грани SAB.
4В. Дана треугольная пирамида SABC; O — точка пересечения медиан основания ABC.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB и середину M ребра SC, делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите угол между прямой BC и плоскостью ABM, если пирамида правильная, а угол между прямой, проходящей через точку M и середину ребра AB, и прямой SO равен \({45^ \circ }\).
5В. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AD = 2, AA1 = 4, . Точка M — середина ребра C1D1, точка N лежит на ребре AA1, причём AN = 3.
а) Докажите, что MN ? CB1.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью грани BB1C1C.
6В. Дана прямая призма ABCA1B1C1, основание которой — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и катетом BC, вдвое бóльшим бокового ребра призмы. Точка M — середина ребра A1C1, точка N лежит на ребре BC, причём CN : NB = 1 : 3.
а) Докажите, что MN ⊥ CB1.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A1B1C1, если \(A{A_1}:AB = 1:\sqrt 7 .\)
7В. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с основаниями ABC и A1B1C1. Скрещивающиеся диагонали BA1 и CB1 боковых граней AA1B1B и BB1C1C перпендикулярны.
а) Докажите, что \(AB:A{A_1} = \sqrt 2 :1.\)
б) Найдите угол между прямой BA1 и плоскостью BCC1.
8В. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1. Точка M — середина ребра B1C1. Прямые CA1 и BM перпендикулярны.
а) Докажите, что диагональ основания призмы вдвое больше бокового ребра.
б) Найдите угол между прямой CA1 и плоскостью BCC1.
9В. Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание которой —параллелограмм ABCD. Точка K — середина медианы SM грани CSD, N —середина ребра AB.
а) Постройте точку пересечения прямой KN с плоскостью ASC.
б) Найдите угол между прямой KN и плоскостью ASC, если пирамида правильная, а её боковые грани образуют с плоскостью основания углы, равные \({60^ \circ }.\)
10В. Дана треугольная пирамида DABC. Точки M и N — середины рёбер BC и AD, L — середина ребра AB.
а) Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью CDL.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью CDL, если пирамида правильная, а угол между её боковым ребром и плоскостью основания ABC равен \({60^ \circ }.\)
11В. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Точка M — середина ребра SD.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A, B и M.
б) Найдите угол между прямой AM и плоскостью CSF, если \(AB:SA = 1:\sqrt {19} .\)
12В. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AB и середину высоты SH пирамиды.
б) Пусть K — точка пересечения этой плоскости с ребром SC. Найдите угол между прямой BK и плоскостью ASB, если AB : AS = 1 : 2.
13В. Точка M — середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
14В. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны. Точка M — середина ребра BC.
а) Докажите, что ортогональная проекция середины ребра AB на плоскость CSD делит медиану SN этой грани в отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между прямой SM и плоскостью CSD.
15В. Основание ABCD призмы ABCDA1B1C1D1 — равнобедренная трапеция с основаниями AB и CD. Боковые стороны равны меньшему основанию CD, а их продолжения пересекаются под углом \({60^ \circ }.\)
а) Плоскость CA1D1 пересекает ребро AB в точке M. Докажите, что прямая D1M проходит через середину диагонали A1C.
б) Найдите угол между боковым ребром BB1 и плоскостью CA1D1, если призма прямая, а \(A{A_1}:AD = \sqrt 3 :2.\)
16В. Основание ABCD призмы ABCDA1B1C1D1 — трапеция с основаниями AB = 2CD.
а) Докажите, что плоскость BA1D1 проходит через середину бокового ребра CC1.
б) Найдите угол между боковым ребром AA1 и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B, а BC = CD и \(A{A_1} = \sqrt 6 CD.\)
17В. Точка M — середина медианы BK основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, а N — центр боковой грани AA1B1B.
а) Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью A1B1C1.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью грани BB1C1C, если известно, что \(\frac{{AB}}{{A{A_1}}} = 2\sqrt 2 .\)
18В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка N — центр боковой грани AA1B1B, а M — точка пересечения медиан основания ABC.
а) Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью A1B1C1.
б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью BB1C, если известно, что \(\frac{{AB}}{{A{A_1}}} = 2\sqrt 3 .\)
19В. Основания ABC и A1B1C1 призмы ABCA1B1C1 — равносторонние треугольники. Отрезок, соединяющий центр O основания ABC с серединой ребра A1B1, перпендикулярен основаниям призмы.
а) Докажите, что грань ABB1A1 — прямоугольник.
б) Найдите угол между прямой BC и плоскостью ABC1, если высота призмы равна стороне основания.
20В. Основания ABC и A1B1C1 призмы ABCA1B1C1 — равносторонние треугольники. Отрезок, соединяющий центр O основания ABC с вершиной C1, перпендикулярен основаниям призмы.
а) Докажите, что плоскости ABC1 и OCC1 перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ABC1, если боковое ребро призмы равно стороне основания.
21В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 6. Точка М – середина ребра А1С1, О – точка пересечения диагоналей грани АВВ1А1.
а) Докажите, что точка пересечения ОС1 с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью АВМ, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника.
б) Найдите угол между прямой ОС1 и сечением призмы плоскостью АВМ.