Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №7. Тригонометрические уравнения и неравенства
| Задача 1. Мяч бросили под углом \(\alpha \) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \frac{{2\,{v_0}\,\sin \alpha }}{g}\). При каком наименьшем значении угла \(\alpha \) (в градусах) время полета будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью \({v_0} = 30\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с2.
|
| Задача 2. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой \(M = N\,I\,B\,{l^2}\sin \alpha \), где \(I = 2{\text{A}}\) — сила тока в рамке, \(B = 3 \cdot {10^{ — 3}}\) Тл — значение индукции магнитного поля, \(l = 0,5\) м — размер рамки, \(N = 1000\) — число витков провода в рамке, \(\alpha \) — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла \(\alpha \) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?
|
| Задача 3. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = {U_0}\sin \left( {\omega \,t + \varphi } \right)\), где t — время в секундах, амплитуда \({U_0} = 2\) В, частота \(\omega = {120^ \circ }/c,\) фаза \(\varphi = — {30^ \circ }\). Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
|
| Задача 4. Очень легкий заряженный металлический шарик зарядом \(q = 2 \cdot {10^{ — 6}}\) Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет \(v = 5\) м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол \(\alpha \) с направлением движения шарика. Значение индукции поля \(B = 4 \cdot {10^{ — 3}}\) Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла \(\alpha \in \left[ {{0^ \circ };{{180}^ \circ }} \right]\) шарик оторвется от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем \(2 \cdot {10^{ — 8}}\) Н? Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 5. Небольшой мячик бросают под острым углом \(\alpha \) к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой \(H = \frac{{v_0^2}}{{4g}}\left( {1 — \cos 2\alpha } \right)\), где \({v_0} = 20\) м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла \(\alpha \) (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?
|
| Задача 6. Катер должен пересечь реку шириной \(L = 100\) м и со скоростью течения \(u = 0,5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u}{\text{ctg}}\,\alpha \), где \(\alpha \) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?
|
| Задача 7. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 3\) м/с под острым углом \(\alpha \) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{{m + M}}v\,\cos \alpha \) (м/с), где \(m = 80\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 400\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?
|
| Задача 8. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону \(v = {v_0}\sin \frac{{2\,\pi \,t}}{T}\), где t — время с момента начала колебаний, \(T = 12\) с — период колебаний, \({v_0} = 0,5\) м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{{m\,{v^2}}}{2}\), где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
|
| Задача 9. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону \(v = {v_0}\cos \frac{{2\,\pi \,t}}{T}\), где t — время с момента начала колебаний, \(T = 2\) с — период колебаний, \({v_0} = 0,5\) м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{{m\,{v^2}}}{2}\), где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
|
| Задача 10. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v\left( t \right) = 5\sin \pi \,t\) (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
|
| Задача 11. Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0,5\) м2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \({\varepsilon _i} = a\,S\,\cos \alpha \), где \(\alpha \) — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a = 4 \cdot {10^{ — 4}}\) Тл/с — постоянная, S — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле \(\alpha \) (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать \({10^{ — 4}}\) В?
|
| Задача 12. Трактор тащит сани с силой \(F = 80\) кН, направленной под острым углом \(\alpha \) к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной \(S = 50\) м вычисляется по формуле \(A = F\,S\,\cos \alpha \). При каком максимальном угле \(\alpha \) (в градусах) совершенная работа будет не менее 2000 кДж?
|
| Задача 13. Трактор тащит сани с силой \(F = 50\) кН, направленной под острым углом \(\alpha \) к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости \(v = 3\) м/с равна \(N = F\,v\,\cos \alpha \). При каком максимальном угле \(\alpha \) (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт?
|
| Задача 14. При нормальном падении света с длиной волны \(\lambda = 400\) нм на дифракционную решетку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол \(\varphi \) (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением \(d\sin \varphi = k\,\lambda \). Под каким минимальным углом \(\varphi \) (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решетке с периодом, не превосходящим 1600 нм?
|
| Задача 15. Два тела массой \(m = 2\) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \(v = 10\) м/с под углом \(2\alpha \) друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением \(Q = m\,{v^2}{\sin ^2}\alpha \). Под каким наименьшим острым углом \(\alpha \) (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
|
| Задача 16. Небольшой мячик бросают под острым углом \(\alpha \) к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле \(L = \frac{{v_0^2}}{g}\sin 2\alpha \) (м), где \({v_0} = 20\) м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?
|
| Задача 17. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = {U_0}\cos \left( \omega \,t + \varphi \right),\) где t — время в секундах, амплитуда U0 = 2 В, частота \(\omega = 150^ \circ /c,\) фаза \(\varphi = — {60^ \circ }.\) Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
|