Скачать файл в формате pdf.


ЕГЭ Профиль №8. Тригонометрические уравнения и неравенства

Задача 1. Мяч бросили под углом \(\alpha \) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \frac{{2\,{v_0}\,\sin \alpha }}{g}\). При каком наименьшем значении угла \(\alpha \) (в градусах) время полета будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью \({v_0} = 30\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с2.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \(\frac{{2{v_0}\sin \,\alpha }}{g} \geqslant 3,\)  где v0 = 30 м/с,  g = 10 м/c2  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\frac{{2 \cdot 30 \cdot \sin \alpha }}{{10}} \geqslant 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin \alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{30^\circ } \leqslant \alpha  < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\alpha  = {30^\circ }.\)

Ответ: 30.

Задача 2. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой \(M = N\,I\,B\,{l^2}\sin \alpha \), где \(I = 2{\text{A}}\) — сила тока в рамке, \(B = 3 \cdot {10^{ — 3}}\) Тл — значение индукции магнитного поля, \(l = 0,5\) м — размер рамки, \(N = 1000\) — число витков провода в рамке, \(\alpha \) — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла \(\alpha \) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \(N\,I\,B\,{l^2}\sin \alpha  \geqslant 0,75,\)  где N = 1000,  I = 2 A,  B = 3·10-3 Тл,  l = 0,5 м  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(1000 \cdot 2 \cdot 3 \cdot {10^{ — 3}} \cdot {0,5^2} \cdot \sin \alpha  \geqslant 0,75\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin \alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{30^\circ } \leqslant \alpha  < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\alpha  = {30^\circ }.\)

Ответ: 30.

Задача 3. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = {U_0}\sin \left( {\omega \,t + \varphi } \right)\), где t — время в секундах, амплитуда \({U_0} = 2\) В, частота \(\omega  = {120^ \circ }/c,\) фаза \(\varphi  =  — {30^ \circ }\). Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ

ОТВЕТ: 50.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \({U_0}\sin \left( {\omega \,t + \varphi } \right) \geqslant 1,\)  где U0 = 2 В, \(\omega  = {120^ \circ }/c,\)  \(\varphi  =  — {30^ \circ }\)  и  \(t \in \left[ {0;\,1} \right].\)

\(2\sin \left( {{{120}^\circ }\,t — {{30}^\circ }} \right) \geqslant 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin \left( {{{120}^\circ }\,t — {{30}^\circ }} \right) \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{30^\circ } + {360^\circ } \cdot k \leqslant {120^\circ }\,t — {30^\circ } \leqslant {150^\circ } + {360^\circ } \cdot k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{60^\circ } + {360^\circ } \cdot k \leqslant {120^\circ }\,t \leqslant {180^\circ } + {360^\circ } \cdot k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{1}{2} + 3k \leqslant t \leqslant \frac{3}{2} + 3k,\,\,\,\,\,k \in z.\)

При k = 0  получим  \(\frac{1}{2} \leqslant t \leqslant \frac{3}{2}.\)  Так как по условию  \(t \in \left[ {0;\,1} \right]\),  то  \(t \in \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]\), что составляет половину от первой секунды, то есть 50%. Если k ≠ 0, то \(t \notin \left[ {0;\,1} \right]\).

Ответ: 50.

Задача 4. Очень легкий заряженный металлический шарик зарядом \(q = 2 \cdot {10^{ — 6}}\) Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет \(v = 5\) м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол \(\alpha \) с направлением движения шарика. Значение индукции поля \(B = 4 \cdot {10^{ — 3}}\) Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная  (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла \(\alpha  \in \left[ {{0^ \circ };{{180}^ \circ }} \right]\) шарик оторвется от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила  была не менее чем \(2 \cdot {10^{ — 8}}\) Н? Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(q\,v\,B\,\sin \alpha  \geqslant 2 \cdot {10^{ — 8}}\), где q = 2·10-6 Кл, v = 5 м/с,  B = 4·10-3 Тл  и  \(\alpha  \in \left[ {{0^ \circ };{{180}^ \circ }} \right]\)

\(2 \cdot {10^{ — 6}} \cdot 5 \cdot 4 \cdot {10^{ — 3}} \cdot \sin \alpha  \geqslant 2 \cdot {10^{ — 8}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin \alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } \leqslant \alpha  \leqslant {{180}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{30^\circ } \leqslant \alpha  \leqslant {180^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\alpha  = {30^\circ }.\)

Ответ: 30.

Задача 5. Небольшой мячик бросают под острым углом \(\alpha \) к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой  \(H = \frac{{v_0^2}}{{4g}}\left( {1 — \cos 2\alpha } \right)\), где \({v_0} = 20\) м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла \(\alpha \) (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Так как мячик должен пролететь над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м, то задача сводится к решению неравенства  \(\frac{{v_0^2}}{{4g}}\left( {1 — \cos 2\alpha } \right) \geqslant 5,\)  где  v0 = 20 м/с,  g = 10 м/с2  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\frac{{{{20}^2}}}{{4 \cdot 10}}\left( {1 — \cos 2\alpha } \right) \geqslant 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 — \cos 2\alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos 2\alpha  \leqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < 2\alpha  < {{180}^\circ }} \)

\(\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < 2\alpha  < {{180}^\circ }} \,\,\,\,\,{60^\circ } \leqslant 2\alpha  < {180^\circ }\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,{30^\circ } \leqslant \alpha  < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\alpha  = {30^\circ }.\)

Ответ: 30.

Задача 6. Катер должен пересечь реку шириной \(L = 100\) м и со скоростью течения \(u = 0,5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u}{\text{ctg}}\,\alpha \), где \(\alpha \) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Ответ

ОТВЕТ: 45.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(\frac{L}{u}{\text{ctg}}\,\alpha  \leqslant 200\), где L = 100 м, u = 0,5 м/с  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\frac{{100}}{{0,5}} \cdot {\text{ctg}}\alpha  \leqslant 200\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\text{ctg}}\alpha  \leqslant 1\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{45^\circ } \leqslant \alpha  < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\alpha  = {45^\circ }.\)

Ответ: 45.

Задача 7. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 3\) м/с под острым углом \(\alpha \) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{{m + M}}v\,\cos \alpha \) (м/с), где \(m = 80\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 400\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \(\frac{m}{{m + M}}v\,\cos \alpha  \geqslant 0,25\),  где m = 80 кг, M = 400 кг,  v = 3 м/с  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\frac{{80}}{{80 + 400}} \cdot 3 \cdot {\text{cos}}\alpha  \geqslant 0,25\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\text{cos}}\alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{0^\circ } < \alpha  \leqslant {60^\circ }.\)

Следовательно, наибольшее значение  \(\alpha  = {60^\circ }.\)

Ответ: 60.

Задача 8. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону \(v = {v_0}\sin \frac{{2\,\pi \,t}}{T}\), где t — время с момента начала колебаний, \(T = 12\) с — период колебаний, \({v_0} = 0,5\) м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{{m\,{v^2}}}{2}\), где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Ответ

ОТВЕТ: 0,0025.

Решение

Найдём скорость груза через 1 секунду после начала колебаний:

\(v = {v_0}\sin \frac{{2\,\pi \,t}}{T} = 0,5 \cdot \sin \frac{{2\pi  \cdot 1}}{{12}} = 0,5 \cdot \sin \frac{\pi }{6} = 0,5 \cdot \frac{1}{2} = 0,25\) м/с.

Найдём кинетическую энергию через 1 секунду после начала колебаний:

\(E = \frac{{m\,{v^2}}}{2} = \frac{{0,08 \cdot {{0,25}^2}}}{2} = 0,04 \cdot 0,0625 = 0,0025\) Дж.

Ответ: 0,0025.

Задача 9. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону \(v = {v_0}\cos \frac{{2\,\pi \,t}}{T}\), где t — время с момента начала колебаний, \(T = 2\) с — период колебаний, \({v_0} = 0,5\) м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{{m\,{v^2}}}{2}\), где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Ответ

ОТВЕТ: 0,01.

Решение

Найдём скорость груза через 1 секунду после начала колебаний:

\(v = {v_0}\cos \frac{{2\,\pi \,t}}{T} = 0,5 \cdot \cos \frac{{2\pi  \cdot 1}}{2} = 0,5 \cdot \cos \pi  = 0,5 \cdot \left( { — 1} \right) =  — 0,5\) м/с.

Найдём кинетическую энергию через 1 секунду после начала колебаний:

\(E = \frac{{m\,{v^2}}}{2} = \frac{{0,08 \cdot {{\left( { — 0,5} \right)}^2}}}{2} = 0,04 \cdot 0,25 = 0,01\) Дж.

Ответ: 0,01.

Задача 10. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v\left( t \right) = 5\sin \pi \,t\) (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ

ОТВЕТ: 0,67.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(5\sin \pi \,t > 2,5\)  при  \(t \in \left[ {0;\,1} \right].\)

\(5\sin \pi t > 2,5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin \pi t > \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k < \pi \,t < \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{6} + 2k < t < \frac{5}{6} + 2k,\,\,\,\,k \in z.\)

При k = 0  получим  \(\frac{1}{6} < t < \frac{5}{6}.\)  Так как по условию  \(t \in \left[ {0;\,1} \right]\),  то  \(t \in \left( {\frac{1}{6};\frac{5}{6}} \right)\), что составляет \(\frac{5}{6} — \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) от первой секунды, то есть, округляя до сотых, получим 0,67. Если k ≠ 0, то \(t \notin \left[ {0;\,1} \right]\).

Ответ: 0,67.

Задача 11. Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0,5\) м2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \({\varepsilon _i} = a\,S\,\cos \alpha \), где \(\alpha \) — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a = 4 \cdot {10^{ — 4}}\) Тл/с — постоянная, S — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле \(\alpha \) (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать \({10^{ — 4}}\) В?

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \(a\,S\,\cos \alpha  \leqslant {10^{ — 4}}\),  где a = 4·10-4 Тл/с,  S = 0,5 м2  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(4 \cdot {10^{ — 4}} \cdot 0,5 \cdot \cos \alpha  \leqslant {10^{ — 4}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos \alpha  \leqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{60^\circ } \leqslant \alpha  < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\alpha  = {60^\circ }.\)

Ответ: 60.

Задача 12. Трактор тащит сани с силой \(F = 80\) кН, направленной под острым углом \(\alpha \) к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной \(S = 50\) м вычисляется по формуле \(A = F\,S\,\cos \alpha \). При каком максимальном угле \(\alpha \) (в градусах) совершенная работа будет не менее 2000 кДж?

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \(F\,S\,\cos \alpha  \geqslant 2\,000\),  где F = 80 кН,  S = 50 м  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(80 \cdot 50 \cdot \cos \alpha  \geqslant 2\,000\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos \alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{0^\circ } < \alpha  \leqslant {60^\circ }.\)

Следовательно, наибольшее значение  \(\alpha  = {60^\circ }.\)

Ответ: 60.

Задача 13. Трактор тащит сани с силой \(F = 50\) кН, направленной под острым углом \(\alpha \) к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости \(v = 3\) м/с равна \(N = F\,v\,\cos \alpha \). При каком максимальном угле \(\alpha \) (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт?

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \(F\,v\,\cos \alpha  \geqslant 75\),  где F = 50 кН,  v = 3 м/с  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(50 \cdot 3 \cdot \cos \alpha  \geqslant 75\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos \alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{0^\circ } < \alpha  \leqslant {60^\circ }.\)

Следовательно, наибольшее значение  \(\alpha  = {60^\circ }.\)

Ответ: 60.

Задача 14. При нормальном падении света с длиной волны \(\lambda  = 400\) нм на дифракционную решетку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол \(\varphi \) (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением \(d\sin \varphi  = k\,\lambda \). Под каким минимальным углом \(\varphi \) (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решетке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \(d \leqslant 1\,600\),  где  \(\lambda  = 400\) нм, номер максимума  k = 2  и  \(\varphi  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\frac{{k \cdot \lambda }}{{\sin \varphi }}\,\, \leqslant 1600\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1600\sin \varphi  \geqslant 2 \cdot 400\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin \varphi  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \varphi  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{30^\circ } \leqslant \varphi  < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\varphi  = {30^\circ }.\)

Ответ: 30.

Задача 15. Два тела массой \(m = 2\) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \(v = 10\) м/с под углом \(2\alpha \) друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением \(Q = m\,{v^2}{\sin ^2}\alpha \). Под каким наименьшим острым углом \(\alpha \) (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \(Q \geqslant 50\),  где  m = 2 кг,  v = 10 м/с  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(m\,{v^2}{\sin ^2}\alpha \, \geqslant 50\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2 \cdot {10^2} \cdot {\sin ^2}\alpha  \geqslant 50\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha  \geqslant \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \)

\(\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\sin \alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,{30^\circ } \leqslant \alpha  < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\alpha  = {30^\circ }.\)

Ответ: 30.

Задача 16. Небольшой мячик бросают под острым углом \(\alpha \) к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле \(L = \frac{{v_0^2}}{g}\sin 2\alpha \) (м), где \({v_0} = 20\) м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(L \geqslant 20\), где g = 10 м/с2, v0 = 20 м/с и \(\alpha \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\frac{{v_0^2}}{g}\sin 2\alpha \, \geqslant 20\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{{20}^2}}}{{10}}\sin 2\alpha \geqslant 20\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin 2\alpha \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < 2\alpha < {{180}^\circ }} \)

\(\mathop \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < 2\alpha < {{180}^\circ }} \,\,\,\,{30^\circ } \leqslant 2\alpha \leqslant {150^\circ }\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha < {{90}^\circ }} \,\,\,\,{15^\circ } \leqslant \alpha \leqslant {75^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение \(\alpha = {15^\circ }.\)
Ответ: 15.

Задача 17. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = {U_0}\cos \left( \omega \,t + \varphi \right),\) где t — время в секундах, амплитуда U0 = 2 В, частота \(\omega  = 150^ \circ /c,\) фаза \(\varphi  =  — {60^ \circ }.\) Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ

ОТВЕТ: 80.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \({U_0}\cos \left( {\omega \,t + \varphi } \right) \geqslant 1,\)  где U0 = 2 В, \(\omega  = {150^ \circ }/c,\)  \(\varphi  =  — {60^ \circ }\)  и  \(t \in \left[ {0;\,1} \right].\)

\(2\cos \left( {{{150}^\circ }\,t — {{60}^\circ }} \right) \geqslant 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos \left( {{150}^\circ }\,t — {{60^\circ }} \right) \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\, — {60^\circ } + {360^\circ } \cdot k \leqslant {150^\circ }\,t — {60^\circ } \leqslant {60^\circ } + {360^\circ } \cdot k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{0^\circ } + {360^\circ } \cdot k \leqslant {150^\circ }\,t \leqslant {120^\circ } + {360^\circ } \cdot k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{12}}{5}k \leqslant t \leqslant \frac{4}{5} + \frac{{12}}{5}k,\,\,\,\,\,k \in z.\)

При k = 0  получим  \(0 \leqslant t \leqslant \frac{4}{5}.\)  Так как по условию  \(t \in \left[ {0;\,1} \right]\),  то  \(t \in \left[ {0;\,\frac{4}{5}} \right]\), что составляет \(\frac{4}{5}\) от первой секунды, то есть 80%. Если k ≠ 0, то \(t \notin \left[ {0;\,1} \right]\).

Ответ: 80.