Основные тригонометрические формулы. Задача 37

Задача 37. Найдите \(6\cos \alpha \), если \(\sin \alpha = -\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\) и \(\alpha \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{2};\;2\pi } \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\). Тогда:

\({\left( {-\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = \dfrac{1}{9}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha = \dfrac{1}{3},\,\,\,}\\{\cos \alpha = -\dfrac{1}{3}.}\end{array}} \right.\)

Так как \(\alpha \, \in \,\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) (IV четверть), то \(\cos \alpha > 0\), то есть \(\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.\)

Тогда: \(6\cos \alpha = 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 2.\)

Ответ: 2.