Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\). Тогда:
\({\sin ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{{3\sqrt 5 }}{7}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = \dfrac{4}{{49}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha = \dfrac{2}{7},\,\,\,}\\{\sin \alpha = -\dfrac{2}{7}.}\end{array}} \right.\)
Так как \(\alpha \, \in \,\left( {1,5\pi ;2\pi } \right)\) (IV четверть), то \(\sin \alpha < 0\), то есть \(\sin \alpha = -\dfrac{2}{7}.\)
Тогда: \(14\sin \alpha = 14 \cdot \left( {-\dfrac{2}{7}} \right) = -4.\)
Ответ: \(-4.\)