Основные тригонометрические формулы. Задача 43

ОТВЕТ: 2.

1 Вариант

Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos \alpha \). Тогда:

\(\dfrac{{8\cos \alpha -2\sin \alpha  + 10}}{{\sin \alpha -4\cos \alpha  + 5}} = \dfrac{{\dfrac{{8\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}-\dfrac{{2\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{10}}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}-\dfrac{{4\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{5}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{8-2\,\,tg\alpha  + \dfrac{{10}}{{\cos \alpha }}}}{{tg\alpha -4 + \dfrac{5}{{\cos \alpha }}}} = \)

\( = \dfrac{{8-2 \cdot 4 + \dfrac{{10}}{{\cos \alpha }}}}{{4-4 + \dfrac{5}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{8-8 + \dfrac{{10}}{{\cos \alpha }}}}{{4-4 + \dfrac{5}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{\dfrac{{10}}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{5}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{10}}{{\cos \alpha }} \cdot \dfrac{{\cos \alpha }}{5} = 2.\)

2 Вариант

Так как  \({\rm{tg}}\alpha  = 4\),  то \(\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 4\)  и  \(\sin \alpha  = 4\cos \alpha \).  Тогда:

\(\dfrac{{8\cos \alpha -2\sin \alpha  + 10}}{{\sin \alpha -4\cos \alpha  + 5}} = \dfrac{{8\cos \alpha -2 \cdot 4\cos \alpha  + 10}}{{4\cos \alpha -4\cos \alpha  + 5}} = \dfrac{{8\cos \alpha -8\cos \alpha  + 10}}{{4\cos \alpha -4\cos \alpha  + 5}} = \dfrac{{10}}{5} = 2.\)

Ответ: 5.