Основные тригонометрические формулы. Задача 44

ОТВЕТ: -1,5.

1 Вариант

Разделим числитель и знаменатель дроби на \(sin\alpha \). Тогда:

\(\dfrac{{6\cos \alpha -18\sin \alpha -12}}{{3\sin \alpha -\cos \alpha  + 8}} = \dfrac{{\dfrac{{6\cos \alpha }}{{\sin\alpha }}-\dfrac{{18\sin \alpha }}{{\sin\alpha }}-\dfrac{{12}}{{\sin\alpha }}}}{{\dfrac{{3\sin \alpha }}{{\sin\alpha }}-\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin\alpha }} + \dfrac{8}{{\sin\alpha }}}} = \dfrac{{6{\rm{ctg}}\alpha -18-\dfrac{{12}}{{\sin\alpha }}}}{{3-{\rm{ctg}}\alpha  + \dfrac{8}{{\sin\alpha }}}} = \)

\( = \dfrac{{6 \cdot 3-18-\dfrac{{12}}{{\sin\alpha }}}}{{3-3 + \dfrac{8}{{\sin\alpha }}}} = \dfrac{{18-18-\dfrac{{12}}{{\sin\alpha }}}}{{3-3 + \dfrac{8}{{\sin\alpha }}}} = \dfrac{{-\dfrac{{12}}{{\sin\alpha }}}}{{\dfrac{8}{{\sin\alpha }}}} = -\dfrac{{12}}{{\sin\alpha }} \cdot \dfrac{{\sin\alpha }}{8} = -1,5.\)

2 Вариант

Так как  \({\rm{ctg}}\alpha  = 3\),  то \(\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 3\)  и  \(\cos \alpha  = 3sin\alpha \).  Тогда:

\(\dfrac{{6\cos \alpha -18\sin \alpha -12}}{{3\sin \alpha -\cos \alpha  + 8}} = \dfrac{{6 \cdot 3\sin\alpha -18\sin\alpha -12}}{{3\sin\alpha -3\sin\alpha  + 8}} = \dfrac{{18\sin\alpha -18\sin\alpha -12}}{{3\sin\alpha -3\sin\alpha  + 8}} = -\dfrac{{12}}{8} = -1,5.\)

Ответ: \(-1,5.\)