Задача 46. Найдите \({\text{ctg}}\,\alpha \), если \(\dfrac{{2\sin \alpha -4\cos \alpha }}{{8\cos \alpha + \sin \alpha }} = -\dfrac{1}{3}\)
Решение
Разделим числитель и знаменатель левой части на \(sin\alpha \):
\(\dfrac{{\dfrac{{2\sin \alpha }}{{\sin\alpha }}-\dfrac{{4\cos \alpha }}{{\sin\alpha }}}}{{\dfrac{{8\cos \alpha }}{{\sin\alpha }} + \dfrac{{\sin\alpha }}{{\sin\alpha }}}} = -\dfrac{1}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{2-4\,\,{\rm{ctg}}\alpha }}{{8\,{\rm{ctg}}\alpha + 1}} = \dfrac{{-1}}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,6-12\,{\rm{ctg}}\alpha = -8\,{\rm{ctg}}\alpha -1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,4\,{\rm{ctg}}\alpha = 7\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\alpha = 1,75.\)
Ответ: 1,75.