Основные тригонометрические формулы. Задача 50math100admin44242025-03-21T21:27:12+03:00
Задача 50. Найдите \(\dfrac{{6-9\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha -2}}\), если \({\text{ctg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,\dfrac{1}{2}\)
Решение
\(\dfrac{{6-9\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha -2}} = \dfrac{{6{{\sin }^2}\alpha + 6{{\cos }^2}\alpha -9\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha -2{{\sin }^2}\alpha -2{{\cos }^2}\alpha }} = \)
\( = \dfrac{{6{{\sin }^2}\alpha + 6{{\cos }^2}\alpha -9\sin \alpha \cos \alpha }}{{-{{\sin }^2}\alpha -2{{\cos }^2}\alpha }}.\)
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на \({\sin ^2}\alpha \). Тогда она примет вид:
\(\dfrac{{6 + 6{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha -9{\rm{ctg}}\alpha }}{{-1-2{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha }} = \dfrac{{6 + 6 \cdot {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}-9 \cdot \dfrac{1}{2}}}{{-1-2 \cdot {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{6 + 1,5-4,5}}{{-1-0,5}} = \dfrac{3}{{-1,5}} = -2.\)
Ответ: \(-2.\)