Основные тригонометрические формулы. Задача 52math100admin44242025-03-21T21:29:38+03:00
Задача 52. Найдите \(\dfrac{{3 + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1-2\sin \alpha \cos \alpha }}\), если \({\text{tg}}\,\alpha \,{\text{ = }}\,2\)
Решение
\(\dfrac{{3 + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{1-2\sin \alpha \cos \alpha }} = \dfrac{{3{{\sin }^2}\alpha + 3{{\cos }^2}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha }} = \dfrac{{5{{\sin }^2}\alpha + 3{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на \({\cos ^2}\alpha \). Тогда она примет вид:
\(\dfrac{{5{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha + 3}}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha + 1-2{\rm{tg}}\alpha }} = \dfrac{{20 + 3}}{{4 + 1-4}} = 23.\)
Ответ: 23.