Синус и косинус суммы и разности аргументов. Задача 2math100admin44242025-03-23T13:29:20+03:00
Задача 2. Вычислите \(\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sin {15^ \circ }\)
Решение
Воспользуемся формулой синуса разности:
\(\sin \left( {\alpha -\beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .\)
\(\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sin {15^ \circ } = \sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sin \left( {{{45}^ \circ }-{{30}^ \circ }} \right) = \sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sin {{45}^ \circ }\cos {{30}^ \circ }-\cos {{45}^ \circ }\sin {{30}^ \circ }} \right) = \)
\( = \sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 -1} \right)}}{4} = \dfrac{{2\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}-{1^2}} \right)}}{4} = \dfrac{{3-1}}{2} = 1.\)
Ответ: 1.