Тангенс и котангенс суммы и разности аргументов. Задача 11math100admin44242025-03-23T19:57:16+03:00
Задача 11. Вычислите \(\sqrt 3 \,\,\dfrac{{{\text{1}}-{\text{tg}}\,{{80}^ \circ }\,{\text{tg}}\,{{40}^ \circ }}}{{{\text{tg}}\,{{80}^ \circ }{\text{ + tg}}\,{{40}^ \circ }}}\)
Решение
Воспользуемся формулой тангенса суммы:
\({\rm{tg}}\left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{{\rm{tg}}\alpha + {\rm{tg}}\beta }}{{1-{\rm{tg}}\alpha {\rm{tg}}\beta }}.\)
\(\sqrt 3 \dfrac{{1-{\rm{tg}}{{80}^ \circ }{\rm{tg}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{tg}}{{80}^ \circ } + {\rm{tg}}{{40}^ \circ }}} = \sqrt 3 \cdot \dfrac{1}{{\,\dfrac{{{\rm{tg}}{{80}^ \circ } + {\rm{tg}}{{40}^ \circ }}}{{1-{\rm{tg}}{{80}^ \circ } \cdot {\rm{tg}}{{40}^ \circ }}}\,}} = \sqrt 3 \cdot \dfrac{1}{{{\rm{tg}}\left( {{{80}^ \circ } + {{40}^ \circ }} \right)}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{{\rm{tg}}{{120}^ \circ }}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{-\sqrt 3 }} = -1.\)
Ответ: \(-1.\)