Тангенс и котангенс суммы и разности аргументов. Задача 15math100admin44242025-03-23T20:05:53+03:00
Задача 15. Найдите \({\text{ctg}}\,\,\left( {\alpha + \dfrac{{5\pi }}{4}} \right)\), если \({\text{tg}}\,\,\alpha = -\dfrac{1}{3}\)
Решение
Воспользуемся формулой котангенса суммы:
\({\rm{ctg}}\left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{{\rm{ctg}}\alpha {\rm{ctg}}\beta -1}}{{{\rm{ctg}}\alpha + {\rm{ctg}}\beta }}.\)
\({\rm{ctg}}\left( {\alpha + \dfrac{{5\pi }}{4}} \right) = \dfrac{{{\rm{ctg}}\alpha {\rm{ctg}}\dfrac{{5\pi }}{4}-1}}{{{\rm{ctg}}\alpha + {\rm{ctg}}\dfrac{{5\pi }}{4}}} = \dfrac{{{\rm{ctg}}\alpha -1}}{{{\rm{ctg}}\alpha + 1}}.\)
Воспользуемся формулой: \({\rm{tg}}\alpha \cdot {\rm{ctg}}\alpha = 1.\)
Тогда: \({\rm{ctg}}\alpha = \dfrac{1}{{{\rm{tg}}\alpha }}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\alpha = \dfrac{1}{{-\dfrac{1}{3}}} = -3.\)
\(\dfrac{{{\rm{ctg}}\alpha -1}}{{{\rm{ctg}}\alpha + 1}} = \dfrac{{-3-1}}{{-3 + 1}} = \dfrac{{-4}}{{-2}} = 2.\)
Ответ: 2.