Тангенс и котангенс суммы и разности аргументов. Задача 16math100admin44242025-03-23T20:08:19+03:00
Задача 16. Найдите \({\text{ctg}}\,\,\left( {\dfrac{{7\pi }}{4}-\alpha } \right)\), если \({\text{tg}}\,\,\alpha = \dfrac{3}{2}\)
Решение
Воспользуемся формулой котангенса разности:
\({\rm{ctg}}\left( {\alpha -\beta } \right) = \dfrac{{{\rm{ctg}}\alpha {\rm{ctg}}\beta + 1}}{{{\rm{ctg}}\beta -{\rm{ctg}}\alpha }}.\)
\({\rm{ctg}}\left( {\dfrac{{7\pi }}{4}-\alpha } \right) = \dfrac{{{\rm{ctg}}\dfrac{{7\pi }}{4}{\rm{ctg}}\alpha + 1}}{{{\rm{ctg}}\alpha -{\rm{ctg}}\dfrac{{7\pi }}{4}}} = \dfrac{{-{\rm{ctg}}\alpha + 1}}{{{\rm{ctg}}\alpha + 1}}.\)
Воспользуемся формулой: \({\rm{tg}}\alpha \cdot {\rm{ctg}}\alpha = 1.\)
Тогда: \({\rm{ctg}}\alpha = \dfrac{1}{{{\rm{tg}}\alpha }}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\alpha = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{2}{3}.\)
\(\dfrac{{-{\rm{ctg}}\alpha + 1}}{{{\rm{ctg}}\alpha + 1}} = \dfrac{{-\dfrac{2}{3} + 1}}{{\dfrac{2}{3} + 1}} = \dfrac{1}{5} = 0,2.\)
Ответ: 0,2.