Тангенс и котангенс суммы и разности аргументов. Задача 3math100admin44242025-03-23T19:25:43+03:00
Задача 3. Вычислите \(\left( {4\sqrt 3 -8} \right){\text{tg}}\,{75^ \circ }\)
Решение
Воспользуемся формулой тангенса суммы:
\({\rm{tg}}\left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{{\rm{tg}}\alpha + {\rm{tg}}\beta }}{{1-{\rm{tg}}\alpha {\rm{tg}}\beta }}.\)
\(\left( {4\sqrt 3 -8} \right){\rm{tg}}{75^ \circ } = \left( {4\sqrt 3 -8} \right){\rm{tg}}\left( {{{45}^ \circ } + {{30}^ \circ }} \right) = \left( {4\sqrt 3 -8} \right) \cdot \dfrac{{{\rm{tg}}{{45}^ \circ } + {\rm{tg}}{{30}^ \circ }}}{{1-{\rm{tg}}{{45}^ \circ } \cdot {\rm{tg}}{{30}^ \circ }}} = \)
\( = \left( {4\sqrt 3 -8} \right) \cdot \dfrac{{1 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1-1 \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 3 -2} \right) \cdot \left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{{3-\sqrt 3 }} = \dfrac{{4\left( {\sqrt 3 -2} \right){{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {3-\sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}} = \)
\( = \dfrac{{4\left( {\sqrt 3 -2} \right)\left( {9 + 6\sqrt 3 + 3} \right)}}{{{3^2}-{{\sqrt 3 }^2}}} = \dfrac{{4 \cdot \left( {\sqrt 3 -2} \right) \cdot \left( {12 + 6\sqrt 3 } \right)}}{{9-3}} = \)
\( = \dfrac{{4 \cdot \left( {\sqrt 3 -2} \right) \cdot 6\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{6} = 4 \cdot \left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}-{2^2}} \right) = -4.\)
Ответ: \(-4.\)