Тангенс и котангенс суммы и разности аргументов. Задача 4

ОТВЕТ: 5.

Воспользуемся формулой котангенса суммы:

\({\rm{ctg}}\left( {\alpha  + \beta } \right) = \dfrac{{{\rm{ctg}}\alpha {\rm{ctg}}\beta -1}}{{{\rm{ctg}}\alpha  + {\rm{ctg}}\beta }}.\)

\(\left( {5\sqrt 3  + 10} \right){\rm{ctg}}{75^ \circ } = \left( {5\sqrt 3  + 10} \right){\rm{ctg}}\left( {{{45}^ \circ } + {{30}^ \circ }} \right) = \left( {5\sqrt 3  + 10} \right) \cdot \dfrac{{{\rm{ctg}}{{45}^ \circ }{\rm{ctg}}{{30}^ \circ }-1}}{{{\rm{ctg}}{{45}^ \circ } + {\rm{ctg}}{{30}^ \circ }}} = \)

\( = \left( {5\sqrt 3  + 10} \right) \cdot \dfrac{{\sqrt 3 -1}}{{1 + \sqrt 3 }} = \dfrac{{5\left( {\sqrt 3  + 2} \right){{\left( {\sqrt 3 -1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3 -1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {\sqrt 3  + 2} \right) \cdot \left( {3-2\sqrt 3  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}-{1^2}}} = \)

\( = \dfrac{{5\left( {\sqrt 3  + 2} \right) \cdot 2 \cdot \left( {2-\sqrt 3 } \right)}}{{3-1}} = \dfrac{{5 \cdot \left( {{2^2}-{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right) \cdot 2}}{2} = 5.\)

Ответ:  5.