Тангенс и котангенс суммы и разности аргументов. Задача 6

ОТВЕТ: -1.

Воспользуемся формулой котангенса суммы:

\({\rm{ctg}}\left( {\alpha  + \beta } \right) = \dfrac{{{\rm{ctg}}\alpha {\rm{ctg}}\beta -1}}{{{\rm{ctg}}\alpha  + {\rm{ctg}}\beta }}.\)

\(\left( {2 + \sqrt 3 } \right){\rm{ctg}}{105^ \circ } = \left( {2 + \sqrt 3 } \right){\rm{ctg}}\left( {{{45}^ \circ } + {{60}^ \circ }} \right) = \left( {2 + \sqrt 3 } \right) \cdot \dfrac{{{\rm{ctg}}{{45}^ \circ } \cdot {\rm{ctg}}{{60}^ \circ }-1}}{{{\rm{ctg}}{{45}^ \circ } + {\rm{ctg}}{{60}^ \circ }}} = \)

\( = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \cdot \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}-1} \right)}}{{1 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 -3} \right)}}{{3 + \sqrt 3 }} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right){{\left( {\sqrt 3 -3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3  + 3} \right)\left( {\sqrt 3 -3} \right)}} = \)

\( = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {3-6\sqrt 3  + 9} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}-{3^2}}} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \cdot 6 \cdot \left( {2-\sqrt 3 } \right)}}{{3-9}} = \dfrac{{6 \cdot \left( {{2^2}-{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right)}}{{-6}} = -1.\)

Ответ:  \(-1.\)