Формулы двойного и половинного аргумента. Задача 28math100admin44242025-03-23T20:58:41+03:00
Задача 28. Вычислите \(\dfrac{{{\text{ctg}}{\,^2}\,{{15}^ \circ }-1}}{{\sqrt 3 \,\,{\text{ctg}}\,\,{{15}^ \circ }}}\)
Решение
Воспользуемся формулой котангенса двойного угла:
\({\rm{ctg}}2\alpha = \dfrac{{{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha -1}}{{2{\rm{ctg}}\alpha }}.\)
\(\dfrac{{{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}{{15}^ \circ }-1}}{{\sqrt 3 {\rm{ctg}}{{15}^ \circ }}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \cdot \dfrac{{{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}{{15}^ \circ }-1}}{{2{\rm{ctg}}{{15}^ \circ }}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}{\rm{ctg}}\left( {2 \cdot {{15}^ \circ }} \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}{\rm{ctg}}{30^ \circ } = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \cdot \sqrt 3 = 2.\)
Ответ: 2.