Формулы двойного и половинного аргумента. Задача 38math100admin44242025-03-23T21:24:43+03:00
Задача 38. Упростите выражение \(\left( {\dfrac{{\cos 2\alpha }}{{\sin \alpha -\cos \alpha }} + \sin \alpha } \right) \cdot \dfrac{1}{{\cos \alpha }}\)
Решение
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
\(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha -{\sin ^2}\alpha .\)
\(\left( {\dfrac{{\cos 2\alpha }}{{\sin \alpha -\cos \alpha }} + \sin \alpha } \right) \cdot \dfrac{1}{{\cos \alpha }} = \left( {\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha -\cos \alpha }} + \sin \alpha } \right) \cdot \dfrac{1}{{\cos \alpha }} = \)
\( = \left( {\dfrac{{\left( {\cos \alpha -\sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}}{{-\left( {\cos \alpha -\sin \alpha } \right)}} + \sin \alpha } \right) \cdot \dfrac{1}{{\cos \alpha }} = \)
\( = \left( {-\cos \alpha -\sin \alpha + \sin \alpha } \right) \cdot \dfrac{1}{{\cos \alpha }} = -\cos \alpha \cdot \dfrac{1}{{\cos \alpha }} = -1.\)
Ответ: \(-1.\)