Формулы двойного и половинного аргумента. Задача 43math100admin44242025-03-23T21:38:50+03:00
Задача 43. Упростите выражение \(2\left( {\dfrac{{1-\cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}-{\text{t}}{{\text{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)\)
Решение
Воспользуемся формулами косинуса двойного угла:
\(\cos 2\alpha = 1-2{\sin ^2}\alpha ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha -1.\)
\(2\left( {\dfrac{{1-\cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right) = 2\left( {\dfrac{{1-\left( {1-2{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)}}{{1 + 2{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}-1}}-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \)
\( = 2 \cdot \left( {\dfrac{{2{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}{{2{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right) = 2 \cdot \left( {{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right) = 0.\)
Ответ: 0.