Формулы двойного и половинного аргумента. Задача 44math100admin44242025-03-23T21:41:24+03:00
Задача 44. Упростите выражение \({\text{tg}}\dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{{1-\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
Решение
Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos 2\alpha = 1-2{\sin ^2}\alpha .\)
\({\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{{1-\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = {\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{{1-\left( {1-2{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)}}{{2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}}} = \)
\( = {\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{{2{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}{{2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}}} = {\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{{\sin \dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}}} = {\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2}-{\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2} = 0.\)
Ответ: 0.