Формулы двойного и половинного аргумента. Задача 46math100admin44242025-03-23T21:44:22+03:00
Задача 46. Вычислите \(4\,\sin \,\dfrac{\pi }{{48}}\, \cdot \cos \dfrac{\pi }{{48}}\, \cdot \cos \dfrac{\pi }{{24}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{12}}\)
Решение
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha .\)
\(4\sin \dfrac{\pi }{{48}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{48}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{24}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{12}} = 2 \cdot 2 \cdot \sin \dfrac{\pi }{{48}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{48}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{24}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{12}} = \)
\( = 2\sin \dfrac{\pi }{{24}}\cos \dfrac{\pi }{{24}}\cos \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin \dfrac{\pi }{{12}} \cdot \cos \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} = 0,25.\)
Ответ: 0,25.