Формулы двойного и половинного аргумента. Задача 48math100admin44242025-03-23T21:48:48+03:00
Задача 48. Вычислите \(4\,\cos \dfrac{\pi }{7}\, \cdot \cos \dfrac{{2\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{{4\pi }}{7}\)
Решение
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha .\)
\(4 \cdot \cos \dfrac{\pi }{7} \cdot \cos \dfrac{{2\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{{4\pi }}{7} = \dfrac{{2 \cdot 2 \cdot \sin \dfrac{\pi }{7} \cdot \cos \dfrac{\pi }{7} \cdot \cos \dfrac{{2\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{{4\pi }}{7}}}{{\sin \dfrac{\pi }{7}}} = \)
\( = \dfrac{{2\sin \dfrac{{2\pi }}{7}\cos \dfrac{{2\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{{4\pi }}{7}}}{{\sin \dfrac{\pi }{7}}} = \dfrac{{2\sin \dfrac{{4\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{{4\pi }}{7}}}{{2\sin \dfrac{\pi }{7}}} = \)
\( = \dfrac{{\sin \dfrac{{8\pi }}{7}}}{{2\sin \dfrac{\pi }{7}}} = \dfrac{{\sin \left( {\pi + \dfrac{\pi }{7}} \right)}}{{2\sin \dfrac{\pi }{7}}} = \dfrac{{-\sin \dfrac{\pi }{7}}}{{2\sin \dfrac{\pi }{7}}} = -0,5.\)
Ответ: \(-0,5.\)