Формулы двойного и половинного аргумента. Задача 49math100admin44242025-03-23T21:49:59+03:00
Задача 49. Вычислите \(\dfrac{{\sin {{40}^ \circ } + \sin {{20}^ \circ }}}{{1 + \cos {{20}^ \circ } + \cos {{40}^ \circ }}} \cdot {\text{ctg}}\,{\text{2}}{0^ \circ }\)
Решение
Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha -1.\)
\(\dfrac{{\sin {{40}^ \circ } + \sin {{20}^ \circ }}}{{1 + \cos {{20}^ \circ } + \cos {{40}^ \circ }}} \cdot {\rm{ctg}}{20^ \circ } = \dfrac{{2\sin {{20}^ \circ }\cos {{20}^ \circ } + \sin {{20}^ \circ }}}{{1 + \cos {{20}^ \circ } + 2{{\cos }^2}{{20}^ \circ }-1}} \cdot {\rm{ctg}}{20^ \circ } = \)
\( = \dfrac{{\sin {{20}^ \circ }\left( {2\cos {{20}^ \circ } + 1} \right)}}{{\cos {{20}^ \circ }\left( {1 + 2\cos {{20}^ \circ }} \right)}} \cdot \dfrac{{\cos {{20}^ \circ }}}{{\sin {{20}^ \circ }}} = 1.\)
Ответ: 1.