Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{16}}{{25}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha = \dfrac{4}{5},\,\,\,}\\{\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}.}\end{array}} \right.\)
Так как \(\alpha \, \in \,\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) (II четверть), то \(\cos \alpha < 0\), то есть \(\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}.\)
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha .\)
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \left( {-\dfrac{4}{5}} \right) = -\dfrac{{24}}{{25}} = -0,96.\)
Ответ: \(-0,96.\)