Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{5}{{13}}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{144}}{{169}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha = \dfrac{{12}}{{13}},\,\,\,}\\{\sin \alpha = -\dfrac{{12}}{{13}}.}\end{array}} \right.\)
Так как \(\alpha \, \in \,\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) (IV четверть), то \(\sin \alpha < 0\), то есть \(\sin \alpha = -\dfrac{{12}}{{13}}.\)
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha .\)
\(169\sin 2\alpha = 169 \cdot 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = 169 \cdot 2 \cdot \left( {-\dfrac{{12}}{{13}}} \right) \cdot \dfrac{5}{{13}} = -120.\)
Ответ: \(-120.\)