Задача 62. Найдите   \(\sqrt 6 \cos \dfrac{\alpha }{2},\)     если    \(\sin \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)    и    \(\alpha  \in \left( {2\pi ;\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha  = \dfrac{1}{9}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha  = \dfrac{1}{3},\,\,\,\,}\\{\cos \alpha  = -\dfrac{1}{3}.}\end{array}} \right.\)

Так как \(\alpha \, \in \,\left( {2\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\)  (I четверть), то \(\cos \alpha  > 0\), то есть \(\cos \alpha  = \dfrac{1}{3}.\)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha -1.\)

\(\cos \alpha  = \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2}-1 = \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{2}{3}} ,\,\,\,\,}\\{\cos \dfrac{\alpha }{2} = -\sqrt {\dfrac{2}{3}} .}\end{array}} \right.\)

Так как \(\alpha \, \in \,\left( {2\pi ;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\), то \(\dfrac{\alpha }{2}\, \in \,\left( {\pi ;\dfrac{{5\pi }}{4}} \right)\) (III четверть), значит \(\cos \dfrac{\alpha }{2} < 0\), то есть \(\cos \dfrac{\alpha }{2} = -\sqrt {\dfrac{2}{3}} .\)

Тогда:  \(\sqrt 6 \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt 6  \cdot \left( {-\sqrt {\dfrac{2}{3}} } \right) = -2.\)

Ответ:  \(-2.\)