Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {-\dfrac{3}{5}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{16}}{{25}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha = \dfrac{4}{5},\,\,\,}\\{\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}.}\end{array}} \right.\)
Так как \(\alpha \, \in \,\left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) (III четверть), то \(\cos \alpha < 0\), то есть \(\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}.\)
Тогда: \({\rm{tg}}\alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = -\dfrac{3}{5}:\left( {-\dfrac{4}{5}} \right) = \dfrac{3}{4}.\)
Воспользуемся формулой тангенса двойного угла:
\({\rm{tg}}2\alpha = \dfrac{{2{\rm{tg}}\alpha }}{{1-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }}.\)
\(7{\rm{tg}}2\alpha = 7 \cdot \dfrac{{2{\rm{tg}}\alpha }}{{1-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }} = 14 \cdot \dfrac{{\dfrac{3}{4}}}{{1-\dfrac{9}{{16}}}} = 14 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{{16}}{7} = 24.\)
Ответ: 24.