Задача 63. Найдите   \(7{\text{tg}}\,2\alpha ,\)     если    \(\sin \alpha  = -\dfrac{3}{5}\)    и    \(\alpha  \in \left( {\pi ;\,\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {-\dfrac{3}{5}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha  = \dfrac{{16}}{{25}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha  = \dfrac{4}{5},\,\,\,}\\{\cos \alpha  = -\dfrac{4}{5}.}\end{array}} \right.\)

Так как \(\alpha \, \in \,\left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)  (III четверть), то \(\cos \alpha  < 0\), то есть \(\cos \alpha  = -\dfrac{4}{5}.\)

Тогда:  \({\rm{tg}}\alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = -\dfrac{3}{5}:\left( {-\dfrac{4}{5}} \right) = \dfrac{3}{4}.\)

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

\({\rm{tg}}2\alpha  = \dfrac{{2{\rm{tg}}\alpha }}{{1-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }}.\)

\(7{\rm{tg}}2\alpha  = 7 \cdot \dfrac{{2{\rm{tg}}\alpha }}{{1-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }} = 14 \cdot \dfrac{{\dfrac{3}{4}}}{{1-\dfrac{9}{{16}}}} = 14 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{{16}}{7} = 24.\)

Ответ:  24.