Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha + {\left( {-0,8} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = 0,36\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha = 0,6,\,\,\,}\\{\sin \alpha = -0,6.}\end{array}} \right.\)
Так как \(\alpha \, \in \,\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) (II четверть), то \(\sin \alpha > 0\), то есть \(\sin \alpha = 0,6.\)
Тогда: \({\rm{ctg}}\alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{-0,8}}{{0,6}} = -\frac{4}{3}.\)
Воспользуемся формулой котангенса двойного угла:
\({\rm{ctg}}2\alpha = \dfrac{{{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha -1}}{{2{\rm{ctg}}\alpha }}.\)
\(24{\rm{ctg}}2\alpha = 24 \cdot \dfrac{{{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha -1}}{{2{\rm{ctg}}\alpha }} = 24 \cdot \dfrac{{\dfrac{{16}}{9}-1}}{{-\dfrac{8}{3}}} = 24 \cdot \dfrac{7}{9} \cdot \left( {-\dfrac{3}{8}} \right) = -7.\)
Ответ: \(-7.\)