Формулы двойного и половинного аргумента. Задача 66math100admin44242025-03-23T22:20:41+03:00
Задача 66. Найдите \(\dfrac{{\cos 2\alpha -\sin 2\alpha }}{{3\sin 2\alpha + \cos 2\alpha }}\), если \({\text{ctg}}\alpha = -3\)
Решение
Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:
\(\dfrac{{\cos 2\alpha -\sin 2\alpha }}{{3\sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha }}{{6\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha }}.\)
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на \(\sin{^2}\alpha \). Тогда она примет вид:
\(\dfrac{{{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha -1-2{\rm{ctg}}\alpha }}{{{\rm{6ctg}}\alpha + {\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha -1}} = \dfrac{{9-1 + 6}}{{-18 + 9-1}} = -\dfrac{{14}}{{10}} = -1,4.\)
Ответ: \(-1,4.\)