Задача 66. Найдите   \(\dfrac{{\cos 2\alpha -\sin 2\alpha }}{{3\sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }}\),    если    \({\text{ctg}}\alpha  = -3\)

Ответ

ОТВЕТ: -1,4.

Решение

Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:

\(\dfrac{{\cos 2\alpha -\sin 2\alpha }}{{3\sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }} = \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha }}{{6\sin \alpha \cos \alpha  + {{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha }}.\)

Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на \(\sin{^2}\alpha \). Тогда она примет вид:

\(\dfrac{{{\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha -1-2{\rm{ctg}}\alpha }}{{{\rm{6ctg}}\alpha  + {\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}\alpha -1}} = \dfrac{{9-1 + 6}}{{-18 + 9-1}} = -\dfrac{{14}}{{10}} = -1,4.\)

Ответ:  \(-1,4.\)