Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 1math100admin44242025-03-23T22:22:32+03:00
Задача 1. Вычислите \(\sqrt 3 \dfrac{{\sin {{22}^ \circ } + \sin {{38}^ \circ }}}{{\sin {{248}^ \circ }-\sin {{128}^ \circ }}}\)
Решение
Воспользуемся формулами преобразования суммы и разности синусов в произведение:
\(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2};\)
\(\sin \alpha -\sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}.\)
\(\sqrt 3 \dfrac{{\sin {{22}^ \circ } + \sin {{38}^ \circ }}}{{\sin {{248}^ \circ }-\sin {{128}^ \circ }}} = \sqrt 3 \dfrac{{\sin {{30}^ \circ } \cdot \cos \left( {-{8^ \circ }} \right)}}{{\sin {{60}^ \circ }\cos {{188}^ \circ }}} = \sqrt 3 \dfrac{{\dfrac{1}{2}\cos {8^ \circ }}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left( {{{180}^ \circ } + {8^ \circ }} \right)}} = \dfrac{{\cos {8^ \circ }}}{{-\cos {8^ \circ }}} = -1.\)
Ответ: \(-1.\)