Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 11math100admin44242025-03-23T22:38:46+03:00
Задача 11. Вычислите \(\sqrt 2 \left( {{\text{ctg}}\,{{25}^ \circ }{\text{ + }}\,{\text{ctg}}\,{{20}^ \circ }} \right) \cdot \cos {65^ \circ }\cos {70^ \circ }\)
Решение
Воспользуемся формулой преобразования суммы котангенсов:
\({\rm{ctg}}\alpha + {\rm{ctg}}\beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\sin \alpha \sin \beta }}.\)
\(\sqrt 2 \cdot \left( {{\rm{ctg}}{{25}^ \circ } + {\rm{ctg}}{{20}^ \circ }} \right) \cdot \cos {65^ \circ } \cdot \cos {70^ \circ } = \sqrt 2 \cdot \dfrac{{\sin {{45}^ \circ } \cdot \cos \left( {{{90}^ \circ }-{{25}^ \circ }} \right) \cdot \cos \left( {{{90}^ \circ }-{{20}^ \circ }} \right)}}{{\sin {{25}^ \circ } \cdot \sin {{20}^ \circ }}} = \)
\( = \sqrt 2 \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{\sin {{25}^ \circ } \cdot \sin {{20}^ \circ }}}{{\sin {{25}^ \circ } \cdot \sin {{20}^ \circ }}} = 1.\)
Ответ: 1.