Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 12math100admin44242025-03-23T22:39:57+03:00
Задача 12. Вычислите \(\left( {{\text{ctg}}\,{{40}^ \circ }-{\text{ctg}}\,{{10}^ \circ }} \right) \cdot \cos {50^ \circ }\cos {80^ \circ }\)
Решение
Воспользуемся формулой преобразования разности котангенсов:
\({\rm{ctg}}\alpha -{\rm{ctg}}\beta = \dfrac{{\sin \left( {\beta -\alpha } \right)}}{{\sin \alpha \sin \beta }}.\)
\(\left( {{\rm{ctg}}{{40}^ \circ }-{\rm{ctg}}{{10}^ \circ }} \right)\cos {50^ \circ }\cos {80^ \circ } = \dfrac{{\sin \left( {-{{30}^ \circ }} \right) \cdot \cos \left( {{{90}^ \circ }-{{40}^ \circ }} \right) \cdot \cos \left( {{{90}^ \circ }-{{10}^ \circ }} \right)}}{{\sin {{40}^ \circ }\sin {{10}^ \circ }}} = \)
\( = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\sin {{40}^ \circ }\sin {{10}^ \circ }}}{{\sin {{40}^ \circ }\sin {{10}^ \circ }}} = -0,5.\)
Ответ: \(-0,5.\)