Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 15math100admin44242025-03-23T22:43:23+03:00
Задача 15. Найдите \(2\sqrt 3 \dfrac{{\sin \alpha -\sin \beta }}{{\cos \alpha + \cos \beta }},\) если \(\alpha -\beta = \dfrac{\pi }{3}\)
Решение
Воспользуемся формулами преобразования разности синусов и суммы косинусов в произведение:
\(\sin \alpha -\sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2};\)
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}.\)
\(2\sqrt 3 \cdot \dfrac{{\sin \alpha -\sin \beta }}{{\cos \alpha + \cos \beta }} = 2\sqrt 3 \cdot \dfrac{{2\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}}}{{2\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}}} = 2\sqrt 3 \cdot \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{6}}}{{\cos \dfrac{\pi }{6}}} = 2\sqrt 3 \cdot \dfrac{1}{2}:\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2.\)
Ответ: 2.