Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 16math100admin44242025-03-23T22:44:46+03:00
Задача 16. Найдите \(\sqrt {12} \dfrac{{\sin \alpha + \sin \beta }}{{\cos \alpha -\cos \beta }},\) если \(\alpha -\beta = \dfrac{{2\pi }}{3}\)
Решение
Воспользуемся формулами преобразования суммы синусов и разности косинусов в произведение:
\(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2};\)
\(\cos \alpha -\cos \beta = -2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}.\)
\(\sqrt {12} \cdot \dfrac{{\sin \alpha + \sin \beta }}{{\cos \alpha -\cos \beta }} = \sqrt {12} \cdot \dfrac{{2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}}}{{-2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}}} = -\sqrt {12} \cdot \dfrac{{\cos \dfrac{\pi }{3}}}{{\sin \dfrac{\pi }{3}}} = -\sqrt {12} \cdot \dfrac{1}{2}:\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = -2.\)
Ответ: \(-2.\)