Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 2math100admin44242025-03-23T22:24:18+03:00
Задача 2. Вычислите \(\dfrac{{\cos {{40}^ \circ } + \cos {{20}^ \circ }}}{{\cos {{160}^ \circ }-\cos {{40}^ \circ }}}\)
Решение
Воспользуемся формулами преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2};\)
\(\cos \alpha -\cos \beta = -2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}.\)
\(\dfrac{{\cos {{40}^ \circ } + \cos {{20}^ \circ }}}{{\cos {{160}^ \circ }-\cos {{40}^ \circ }}} = \dfrac{{2\cos {{30}^ \circ } \cdot \cos {{10}^ \circ }}}{{-2\sin {{100}^ \circ } \cdot \sin {{60}^ \circ }}} = -\dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \cos {{10}^ \circ }}}{{\sin \left( {{{90}^ \circ } + {{10}^ \circ }} \right) \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = -\dfrac{{\cos {{10}^ \circ }}}{{\cos {{10}^ \circ }}} = -1.\)
Ответ: \(-1.\)