Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 3math100admin44242025-03-23T22:25:43+03:00
Задача 3. Вычислите \(\dfrac{{\sin {{15}^ \circ } + \sin {{25}^ \circ }}}{{\cos {{115}^ \circ } + \cos {{105}^ \circ }}}\)
Решение
Воспользуемся формулами преобразования суммы синусов и косинусов в произведение:
\(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2};\)
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}.\)
\(\dfrac{{\sin {{15}^ \circ } + \sin {{25}^ \circ }}}{{\cos {{115}^ \circ } + \cos {{105}^ \circ }}} = \dfrac{{2\sin {{20}^ \circ }\cos \left( {-{5^ \circ }} \right)}}{{2\cos {{110}^ \circ }\cos {5^ \circ }}} = \dfrac{{\sin {{20}^ \circ }\cos {5^ \circ }}}{{\cos \left( {{{90}^ \circ } + {{20}^ \circ }} \right)\cos {5^ \circ }}} = \dfrac{{\sin {{20}^ \circ }}}{{-\sin {{20}^ \circ }}} = -1.\)
Ответ: \(-1.\)